$$P_{\theta }(\mathbf{y}|\mathbf{x})={\int }_{\mathbf{z}}{P}_{\theta }(\mathbf{y}|\mathbf{z},\mathbf{x})p_{\theta }(\mathbf{z}|\mathbf{x})d\mathbf{z}$$
上面的公式是一个条件概率的积分形式，它描述了在给定输入 $\mathbf{x}$ 的情况下，输出 $\mathbf{y}$ 的概率分布。这个公式是贝叶斯定理的一个应用，用于在给定上下文或条件的情况下计算某个事件的概率。在这个特定的上下文中，它涉及到一个生成模型，其中 $\mathbf{z}$ 表示潜在变量或隐状态。

让我们分解这个公式：

• $P_{\theta }(\mathbf{y}|\mathbf{x})$：这是在给定输入 $\mathbf{x}$ 的情况下，输出 $\mathbf{y}$ 的条件概率分布。这是我们想要计算的量。

• $P_{\theta }(\mathbf{y}|\mathbf{z},\mathbf{x})$：这是在给定潜在变量 $\mathbf{z}$ 和输入 $\mathbf{x}$ 的情况下，输出 $\mathbf{y}$ 的条件概率。这通常是由模型的解码器部分给出的。

• $p_{\theta }(\mathbf{z}|\mathbf{x})$：这是在给定输入 $\mathbf{x}$ 的情况下，潜在变量 $\mathbf{z}$ 的条件概率分布。这通常是由模型的编码器部分给出的。

• ${\int }_{\mathbf{z}}$：这个积分是对所有可能的潜在变量 $\mathbf{z}$ 的集合进行积分，以考虑所有可能的潜在状态。

现在，让我们解释为什么这个公式成立：

在生成模型中，我们通常有一个潜在空间，其中每个潜在向量 $\mathbf{z}$ 都与特定的输出 $\mathbf{y}$ 相关联。然而，对于给定的输入 $\mathbf{x}$，可能有多个潜在向量可以生成相同的输出。为了计算在给定输入的情况下输出的确切概率，我们需要考虑所有这些潜在向量。

这个公式通过积分来实现这一点，它将输出的概率分解为对所有可能的潜在向量的条件概率的加权平均。权重由潜在向量给定输入的先验概率 $p_{\theta }(\mathbf{z}|\mathbf{x})$ 提供。这样，我们就可以得到一个综合了所有潜在状态的输出概率分布。

简而言之，这个公式通过积分所有可能的潜在状态来计算给定输入下输出的条件概率，这是生成模型中常见的一种处理潜在变量的方法。