leetCode刷题 4.寻找两个正序数组的中位数

目录

1. 思路

2. 解题方法

3. 复杂度

4. Code


题目:

        给定两个大小分别为 m 和 n 的正序(从小到大)数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1:

输入:nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出:2.00000
解释:合并数组 = [1,2,3] ,中位数 2

示例 2:

输入:nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出:2.50000
解释:合并数组 = [1,2,3,4] ,中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示:

  • nums1.length == m
  • nums2.length == n
  • 0 <= m <= 1000
  • 0 <= n <= 1000
  • 1 <= m + n <= 2000
  • -106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

1. 思路

        为了满足 O(log (m+n)) 的时间复杂度,我们可以尝试使用二分查找的思想来解决这个问题。我们的目标是找到两个有序数组合并后的中位数,也就是合并数组中的第 (m+n)/2 小的数。

2. 解题方法

        我们可以对两个数组进行二分查找,每次排除一半的数据。首先,我们设定一个在合并数组中的位置 k,然后在两个数组中分别找到第 k/2 小的数,并比较它们的大小。如果数组1的第 k/2 小的数小于数组2的第 k/2 小的数,那么说明合并数组中的第 k 小的数一定不会在数组1的前 k/2 个数中,因此我们可以将数组1的前 k/2 个数排除,继续在剩余的数组中寻找第 k - k/2 小的数。以此类推,直到找到第 (m+n)/2 小的数。

如果合并数组的长度为偶数,则中位数为第 (m+n)/2 和 (m+n)/2 + 1 小的数的平均值。

  1. 定义一个辅助函数 findKth,该函数用于在两个有序数组中找到第 k 小的数。
  2. findKth 函数中,比较两个数组的第 k/2 个数的大小,将较小的那个数的前 k/2 个数舍弃,并递归查找第 k - k/2 小的数。
  3. 如果某个数组已经全部被舍弃,则返回另一个数组的第 k 小的数。
  4. findMedianSortedArrays 函数中,根据合并数组的长度奇偶性,调用 findKth 函数找到中位数。
  5. 返回中位数。

3. 复杂度

  • 时间复杂度:O(log(min(m, n))),其中 m 和 n 分别为两个数组的长度。每次二分查找的过程中,我们将问题的规模减半,因此时间复杂度为对数级别。
  • 空间复杂度:O(1)。

4. Code

class Solution {public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {int m = nums1.length;int n = nums2.length;int totalLength = m + n;// 如果合并数组长度为奇数,则直接返回第 (m+n)/2 + 1 小的数if (totalLength % 2 == 1) {return findKth(nums1, nums2, totalLength / 2 + 1);} else { // 如果合并数组长度为偶数,则返回第 (m+n)/2 和 (m+n)/2 + 1 小的数的平均值return (findKth(nums1, nums2, totalLength / 2) + findKth(nums1, nums2, totalLength / 2 + 1)) / 2.0;}}// 辅助函数,用于在两个有序数组中找到第 k 小的数private double findKth(int[] nums1, int[] nums2, int k) {int len1 = nums1.length;int len2 = nums2.length;int index1 = 0, index2 = 0;while (true) {// 处理其中一个数组已经全部被舍弃的情况if (index1 == len1) {return nums2[index2 + k - 1];}if (index2 == len2) {return nums1[index1 + k - 1];}// 处理 k=1 的情况if (k == 1) {return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);}// 在两个数组中找第 k/2 小的数int newIndex1 = Math.min(index1 + k / 2 - 1, len1 - 1);int newIndex2 = Math.min(index2 + k / 2 - 1, len2 - 1);if (nums1[newIndex1] <= nums2[newIndex2]) {// 舍弃 nums1 中的前 k/2 个数k -= newIndex1 - index1 + 1;index1 = newIndex1 + 1;} else {// 舍弃 nums2 中的前 k/2 个数k -= newIndex2 - index2 + 1;index2 = newIndex2 + 1;}}}
}

这段代码利用二分查找的思想,实现了在两个有序数组中找到第 k 小的数,并根据合并数组的长度奇偶性找到中位数,同时满足了 O(log (m+n)) 的时间复杂度要求。

5.小插曲:

     有兴趣的可以计算一下下面代码的时间复杂度,把你的答案打在评论区吧!!!

class Solution {public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {int m = nums1.length;int n = nums2.length;int[] merged = new int[m + n];int i = 0, j = 0, k = 0;// 使用归并排序合并两个正序数组while (i < m && j < n) {if (nums1[i] < nums2[j]) {merged[k++] = nums1[i++];} else {merged[k++] = nums2[j++];}}while (i < m) {merged[k++] = nums1[i++];}while (j < n) {merged[k++] = nums2[j++];}// 判断合并后数组的长度奇偶性,找到中位数if ((m + n) % 2 == 0) {int mid1 = merged[(m + n) / 2 - 1];int mid2 = merged[(m + n) / 2];return (double)(mid1 + mid2) / 2;} else {return (double)merged[(m + n) / 2];}}
}

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