n 位格雷码序列 是一个由 2n 个整数组成的序列，其中：

• 每个整数都在范围 [0, 2n - 1] 内（含 0 和 2n - 1）
• 第一个整数是 0
• 一个整数在序列中出现 不超过一次
• 每对 相邻 整数的二进制表示 恰好一位不同 ，且
• 第一个 和 最后一个 整数的二进制表示 恰好一位不同

给你一个整数 n ，返回任一有效的 n 位格雷码序列 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：[0,1,3,2]
解释：
[0,1,3,2] 的二进制表示是 [00,01,11,10] 。
- 00 和 01 有一位不同
- 01 和 11 有一位不同
- 11 和 10 有一位不同
- 10 和 00 有一位不同
[0,2,3,1] 也是一个有效的格雷码序列，其二进制表示是 [00,10,11,01] 。
- 00 和 10 有一位不同
- 10 和 11 有一位不同
- 11 和 01 有一位不同
- 01 和 00 有一位不同

示例 2：

输入：n = 1
输出：[0,1]

解法一 动态规划

按照动态规划或者说递归的思路去想，也就是解决了小问题，怎么解决大问题。

我们假设我们有了 n = 2 的解，然后考虑怎么得到 n = 3 的解。

n = 2 的解
00 - 0
10 - 2
11 - 3
01 - 1

如果再增加一位，无非是在最高位增加 0 或者 1，考虑先增加 0。由于加的是 0，其实数值并没有变化。

n = 3 的解，最高位是 0
000 - 0
010 - 2
011 - 3
001 - 1

再考虑增加 1，在 n = 2 的解基础上在最高位把 1 丢过去？

n = 3 的解
000 - 0
010 - 2
011 - 3
001 - 1  
------------- 下面的是新增的
100 - 4
110 - 6
111 - 7
101 - 5

似乎没这么简单哈哈，第 4 行 001 和新增的第 5 行 100，有 3 个 bit 位不同了，当然不可以了。怎么解决呢？

很简单，第 5 行新增的数据最高位由之前的第 4 行的 0 变成了 1，所以其它位就不要变化了，直接把第 4 行的其它位拉过来，也就是 101。

接下来，为了使得第 6 行和第 5 行只有一位不同，由于第 5 行拉的第 4 行的低位，而第 4 行和第 3 行只有一位不同。所以第 6 行可以把第 3 行的低位拿过来。其他行同理，如下图。

蓝色部分由于最高位加的是 0 ，所以它的数值和 n = 2 的所有解的情况一样。而橙色部分由于最高位加了 1，所以值的话，就是在其对应的值上加 4，也就是 222​2​​，即23−12​3−1​​，也就是 1 << ( n - 1) 。所以我们的算法可以用迭代求出来了。

所以如果知道了 n = 2 的解的话，如果是 { 0, 1, 3, 2}，那么 n = 3 的解就是 { 0, 1, 3, 2, 2 + 4, 3 + 4, 1 + 4, 0 + 4 }，即 { 0 1 3 2 6 7 5 4 }。之前的解直接照搬过来，然后倒序把每个数加上 1 << ( n - 1) 添加到结果中即可。

public List<Integer> grayCode(int n) {List<Integer> gray = new ArrayList<Integer>();gray.add(0); //初始化 n = 0 的解for (int i = 0; i < n; i++) {int add = 1 << i; //要加的数//倒序遍历，并且加上一个值添加到结果中for (int j = gray.size() - 1; j >= 0; j--) {gray.add(gray.get(j) + add);}}return gray;
}

时间复杂度：O(2​n​​)，因为有这么多的结果。

空间复杂度：O（1）。

解法二 直接推导

解法一我觉得，在不了解格雷码的情况下，还是可以想到的，下边的话，应该是之前了解过格雷码才写出来的。看下维基百科提供的一个生成格雷码的思路。

以二进制为 0 值的格雷码为第零项，第一项改变最右边的位元，第二项改变右起第一个为1的位元的左边位元，第三、四项方法同第一、二项，如此反复，即可排列出n个位元的格雷码。

以 n = 3 为例。

0 0 0 第零项初始化为 0。

0 0 1 第一项改变上一项最右边的位元

0 1 1 第二项改变上一项右起第一个为 1 的位元的左边位

0 1 0 第三项同第一项，改变上一项最右边的位元

1 1 0 第四项同第二项，改变最上一项右起第一个为 1 的位元的左边位

1 1 1 第五项同第一项，改变上一项最右边的位元

1 0 1 第六项同第二项，改变最上一项右起第一个为 1 的位元的左边位

1 0 0 第七项同第一项，改变上一项最右边的位元

思路有了，代码自然也就出来了。

public List<Integer> grayCode2(int n) {List<Integer> gray = new ArrayList<Integer>();gray.add(0); //初始化第零项for (int i = 1; i < 1 << n; i++) {//得到上一个的值int previous = gray.get(i - 1);//同第一项的情况if (i % 2 == 1) {previous ^= 1; //和 0000001 做异或，使得最右边一位取反gray.add(previous);//同第二项的情况} else {int temp = previous;//寻找右边起第第一个为 1 的位元for (int j = 0; j < n; j++) {if ((temp & 1) == 1) {//和 00001000000 类似这样的数做异或，使得相应位取反previous = previous ^ (1 << (j + 1));gray.add(previous);break;}temp = temp >> 1;}}}return gray;
}

解法三 公式

二进制转成格雷码有一个公式。

所以我们遍历 0 到 2�−12​n​​−1，然后利用公式转换即可。即最高位保留，其它位是当前位和它的高一位进行异或操作。

public List<Integer> grayCode(int n) {List<Integer> gray = new ArrayList<Integer>();for(int binary = 0;binary < 1 << n; binary++){gray.add(binary ^ binary >> 1);}return gray;
}