目录

一、引言

二、Viterbi译码的基本原理

2.1 卷积码与网格图

2.2 Viterbi算法的核心思想

2.3 路径度量与状态转移

三、Viterbi译码算法工作原理详解

3.1 算法流程

3.2 关键步骤

3.3 译码算法举例

3.4 性能特点

四、Viterbi译码的应用场景

4.1 移动通信系统

4.2 卫星通信系统

4.3 磁盘存储系统

五、Viterbi译码的优缺点分析

5.1 优点

5.2 缺点

六、Matlab算法示例

七、总结

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一、引言

在数字通信领域，为了确保信息的可靠传输，我们常常需要对发送的数据进行编码，并在接收端进行译码。其中，Viterbi译码是一种广泛使用的最大似然序列估计算法，用于在存在噪声和干扰的通信信道中恢复原始数据。本文将详细介绍Viterbi译码的基本原理、应用场景、优缺点，并与其他译码技术进行比较。

二、Viterbi译码的基本原理

Viterbi译码算法是一种基于动态规划的最优路径搜索算法，它由Andrew Viterbi于1967年提出，最初用于卷积码的解码。Viterbi译码通过寻找最可能的发送序列来估计原始信息，即在所有可能的发送序列中，选择一条与接收序列差异最小的路径作为最优估计。

2.1 卷积码与网格图

在理解Viterbi译码之前，我们需要先了解卷积码。卷积码是一种纠错编码方式，它通过将输入数据与编码器的状态进行卷积运算来生成输出码字。卷积码的特点是可以利用历史信息，使得码字之间存在一定的相关性。这种相关性可以通过网格图来表示，网格图中的每一条路径都对应一个可能的发送序列。

2.2 Viterbi算法的核心思想

Viterbi算法的核心思想是在网格图中搜索最优路径。它按照时间顺序逐步计算每个状态的最优路径度量值，并保留到达每个状态的最优路径。在每一步中，算法都会根据当前接收到的符号和状态转移概率来更新路径度量值。最终，算法选择一条具有最小路径度量值的路径作为最优估计。

2.3 路径度量与状态转移

路径度量是衡量路径优劣的指标，通常定义为路径上所有分支的度量值之和。分支度量值可以根据接收符号与预期符号之间的差异来计算，差异越小，度量值越小。状态转移是指从一个状态转移到另一个状态的过程，每个状态转移都对应一个分支度量值。

三、Viterbi译码算法工作原理详解

Viterbi译码算法是一种最大似然序列估计（MLSE）算法，用于在存在噪声的情况下解码卷积码，它是由Andrew Viterbi在1967年提出的。该算法通过动态规划的方式，寻找最有可能通过卷积码编码器和噪声信道传输的原始信息序列。

3.1 算法流程

1. 初始化：确定所有状态在时刻t=0的路径度量值。对于起始状态，路径度量通常设为0，而对于其他所有状态，路径度量则设为无穷大（表示不可能的状态）。

2. 递推（路径度量计算与更新）：对于每个时刻t和每个状态s，计算到达该状态的所有可能路径的度量值。路径度量通常基于接收序列和假设路径之间的差异，如汉明距离或欧氏距离。选择具有最小度量值的路径作为幸存路径，并更新路径度量和路径历史。

3. 终止：在达到接收序列的末尾时，选择具有最小路径度量的状态作为最终状态。

4. 回溯：从最终状态开始，沿着幸存路径回溯到初始状态，从而确定最可能的原始信息序列。

3.2 关键步骤

• 分支度量计算：对于每个状态和每个可能的输入比特，计算从当前状态转移到下一状态的分支度量。这通常涉及计算接收序列与假设分支之间的差异。

• 加-比较-选择（ACS）操作：对于每个状态，将所有进入该状态的路径的度量值相加，并与当前状态的幸存路径度量进行比较。选择具有最小度量值的路径作为新的幸存路径。

• 路径历史存储：为了能够在最后进行回溯，需要存储每个状态和时刻的幸存路径历史信息。

3.3 译码算法举例

维特比算法就是寻找一条路径，使得该路径的编码输出与接收序列的汉明距离最小，其关键就是路径的寻找过程。

• 根据网格图（Trellis）（【5G NR】【一文读懂系列】移动通讯中使用的信道编解码技术-卷积码原理），首先，我们从第一个状态出发，到下一个状态有两种路径，分别计算这两条路径的编码输出与接收序列的汉明距离(注意，此时不能进行任何舍弃，不能将距离大的舍弃)。

• 第二步，从第一步到达的两个状态出发，继续寻找路径，由于2位移位寄存器共有四种状态，因此此时我们得到到达所有状态的路径(无论是否最优)

• 第三步，从这四个状态出发，继续寻找路径，此时我们将得到8种路径。这一步是算法的关键，此时要保留到达各状态的最短路径，舍弃其他路径，即舍弃后仍保留四条路径，且四条路径分别对应四个状态(无论该状态以后的路径如何选择，当到达该状态时，该状态以前的路径一定是最优的)。对于(n,k,N)卷积码，进行维特比译码时，当到达第N步时，要对路径进行舍弃，只保留幸存路径的信息，储存幸存路径以及当前的累计距离。

• 第四步：继续进行路径寻找，同样只保留每个状态下的幸村路径，直至步数达到输入序列的个数。

维特比算法复杂度：每步要比较2×2^(N-1)条路径(每个状态两条)，计算量与步数(输入码的个数)成正比。

3.4 性能特点

• 最优性能：在给定足够长的接收序列时，Viterbi译码器能够提供最大似然序列估计，即它能够找到最有可能的原始信息序列。

• 复杂度：Viterbi译码的复杂度随约束长度的增加而指数增长。然而，通过有效的实现技术（如量化和剪枝），可以降低实际应用的复杂度。

• 延迟：由于Viterbi译码是一种块处理算法，它通常会在接收到整个块或一段足够长的序列后才开始解码，这可能会导致一定的解码延迟。

• 适用于多种信道：Viterbi译码不仅适用于加性白高斯噪声（AWGN）信道，还适用于其他类型的信道，如瑞利衰落信道和多径信道。

四、Viterbi译码的应用场景

Viterbi译码广泛应用于各种数字通信系统，特别是那些对误码率要求较高的场景。以下是一些典型的应用场景：

4.1 移动通信系统

在移动通信系统中，由于信道条件复杂多变，信号在传输过程中容易受到干扰和衰落。Viterbi译码可以有效地纠正由于信道干扰引起的误码，提高通信系统的可靠性。

4.2 卫星通信系统

卫星通信系统面临着长距离传输和大气层干扰等挑战。Viterbi译码结合其他纠错编码技术，可以在恶劣的信道条件下实现数据的可靠传输。

4.3 磁盘存储系统

在磁盘存储系统中，由于磁盘表面的缺陷、磁头的不稳定性以及外部干扰等因素，读取数据时可能会发生错误。Viterbi译码可以提高磁盘存储系统的数据恢复能力，减少读取错误的发生。

五、Viterbi译码的优缺点分析

5.1 优点

（1）性能优越：Viterbi译码是一种最大似然序列估计算法，它能够在存在噪声和干扰的信道中实现较低的误码率。

（2）适用于多种信道条件：Viterbi译码算法对信道条件的变化具有较强的适应性，可以应用于不同类型的信道。

（3）可与其他技术结合使用：Viterbi译码可以与其他纠错编码技术、调制技术等结合使用，进一步提高通信系统的性能。

5.2 缺点

（1）计算复杂度较高：Viterbi译码算法的计算复杂度随约束长度的增加而呈指数增长，这限制了其在一些实时性要求较高的场景中的应用。

（2）存储需求较大：为了实现Viterbi译码，需要存储大量的路径度量值和状态信息，这对硬件的存储能力提出了更高的要求。

（3）对初始状态敏感：Viterbi译码的性能受到初始状态选择的影响，如果初始状态选择不当，可能会导致译码性能下降。

六、Matlab算法示例

下面是一个简单的Viterbi译码算法的Matlab实现示例。请注意，这个例子假设你已经有了卷积码的生成多项式、输入信号（接收序列）以及其他必要的参数。

function decoded_bits = viterbi_decoder(received_signal, constraint_length, generator_polynomials)  % received_signal: 接收到的信号序列（1 x N 向量）  % constraint_length: 约束长度（标量）  % generator_polynomials: 生成多项式的矩阵形式（K-1 x R 矩阵，K是约束长度，R是输出数量）  % decoded_bits: 译码后的比特序列（1 x (N/R) 向量，R是输出数量）  % 参数检查  if nargin < 3  error('Not enough input arguments.');  end  % 初始化变量  N = length(received_signal); % 接收信号长度  R = size(generator_polynomials, 2); % 输出数量（速率为1/R）  num_states = 2^(constraint_length - 1); % 状态数  trellis = poly2trellis(constraint_length - 1, generator_polynomials); % 创建网格结构  % 初始化路径度量和路径历史  path_metrics = zeros(num_states, N/R); % 路径度量矩阵  path_metrics(:, 1) = inf; % 初始化为无穷大  path_history = cell(num_states, N/R); % 路径历史单元数组  % 开始状态（全零状态）的路径度量和历史  start_state = 0;  path_metrics(start_state + 1, 1) = 0; % Matlab索引从1开始  path_history{start_state + 1, 1} = start_state;  % Viterbi算法主循环  for t = 2:N/R  for s = 0:num_states-1  % 计算到达当前状态的所有可能的前一状态  prev_states = viterbistate(trellis, s);  % 对于每个可能的前一状态，计算分支度量  for ps = prev_states  branch_metrics = hammingdist(received_signal((t-1)*R + 1:t*R), ...  encode(trellis, [path_history{ps + 1, t-1}, 0], 0, 'truncation', 'conventional')*2 - 1);  % 计算路径度量并更新如果找到更好的路径  metrics = path_metrics(ps + 1, t-1) + branch_metrics;  if metrics < path_metrics(s + 1, t)  path_metrics(s + 1, t) = metrics;  path_history{s + 1, t} = ps;  end  end  end  end  % 回溯找到最佳路径  [~, end_state] = min(path_metrics(:, end));  decoded_bits = zeros(1, N/R);  for t = N/R:-1:1  decoded_bits(t) = mod(end_state, 2); % 提取最后一位作为译码比特  end_state = floor(end_state / 2); % 移除最后一位以回溯  if t > 1  [~, end_state] = ismember(path_history{end_state + 1, t}, 0:num_states-1); % 找到前一状态  end  end  % 翻转译码比特序列，因为我们是从后向前回溯的  decoded_bits = fliplr(decoded_bits);  
end  % 注意：此代码片段是一个概念示例，可能需要针对您的特定应用场景进行调整。  
% 实际使用中，请确保所有输入参数都是正确和有效的，并考虑代码的边界情况和错误处理。  
% 此外，'encode' 函数用于模拟卷积编码过程，可能需要根据您的具体编码方案进行修改。  
% 代码中用到的 'hammingdist' 函数计算汉明距离，用于计算分支度量。如果您的信号不是二进制或者有不同的度量标准，请相应修改。

七、总结

Viterbi译码作为一种高效的纠错编码技术，在数字通信领域具有广泛的应用前景。它通过动态规划的方法在网格图中搜索最优路径，实现了在低信噪比和复杂信道条件下的可靠数据传输。卷积码和Viterbi算法在非常低的信噪比下性能不佳，复杂度随约束长度增加而增加；Turbo码是一种高级的前向纠错码，由两个或多个卷积编码器和一个随机交织器组成，使用迭代解码来逼近最大似然解码的性能，在较低信噪比下接近香农极限的性能。后续我们会介绍Turbo码原理和解码算法。