python算法与数据结构---排序和归并排序

学习目标

掌握归并排序的基本原理
使用python语言解答归并排序题目

归并排序

原理及过程

将两个有序的数组合并成一个有序数组称为
从上往下分解：把当前区间一分为二，直至分解为若干个长度为1的子数组
从上往下的合并：两个有序的子区域两两向上合并；
体现了分治思想，稳定排序

复杂度

平均时间复杂度：O(NlogN)
最坏时间复杂度：O(NlogN)

归并排序合并过程

temp数组用于存储合并结果，合并后拷贝回原数组；
双指针法：
- 初始分别指向两个有序区间的开始位置；
- 指针应该如何移动
当合并左右两个有序区间时，分为以下几种情况；
- 左区间、右区间都还有元素，且当前左区间元素值大于右区间元素值；
- 左区间、右区间都还有元素，且当前左区间元素值小于等于右区间元素值；
- 左区间元素值用完、右区间还剩有元素值；
- 右区间元素用完、左区间还剩有元素值。

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算法代码实现过程

分解：把当前区间一分为二，分解点即中间点mid=(start + end) / 2
求解：分别递归左右两个子区间[start… end] 和[mid+1 … end]进行归并排序，递归的终结条件是子区间的长度为1
合并：使用双指针法将两个有序区间归并成一个临时有序区间[start … end]，并将结果拷贝到原数组的区间[start …end]，是原数组[start… end]变为有序。

def merge(nums, start, mid, end):# 使用双指针法将两个有序区间归并成一个临时有序区间i, j, temp = start, mid + 1, []while i <= mid and j <= end:if nums[i] <= nums[j]:temp.append(nums[i])i += 1else:temp.append(nums[j])j += 1while i <= mid:temp.append(nums[i])i += 1while j <= end:temp.append(nums[j])j += 1for i in range(len(temp)):nums[start + i] = temp[i]def mergesort(nums, start, end):if start >= end:returnmid = (start + end) >> 1mergesort(nums, start, mid)  # 递归左区间mergesort(nums, mid + 1, end)  # 递归右区间merge(nums, start, mid, end)return numsnum_list = [8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2]
print(mergesort(num_list, 0, len(num_list)- 1))

LCR 170. 交易逆序对的总数

https://leetcode.cn/problems/shu-zu-zhong-de-ni-xu-dui-lcof/description/
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解法：归并排序

class Solution:def reversePairs(self, record: List[int]) -> int:self.cnt = 0def merge(nums, start, mid, end):# 使用双指针法将两个有序区间归并成一个临时有序区间i, j, temp = start, mid + 1, []while i <= mid and j <= end:if nums[i] <= nums[j]:temp.append(nums[i])i += 1else:self.cnt += mid - i + 1 #更新逆序对的个数temp.append(nums[j])j += 1while i <= mid:temp.append(nums[i])i += 1while j <= end:temp.append(nums[j])j += 1for i in range(len(temp)):nums[start + i] = temp[i]def mergesort(nums, start, end):if start >= end:returnmid = (start + end) >> 1mergesort(nums, start, mid)  # 递归左区间mergesort(nums, mid + 1, end)  # 递归右区间merge(nums, start, mid, end)mergesort(record, 0, len(record) - 1)return self.cnt

315. 计算右侧小于当前元素的个数（力扣题目）

https://leetcode.cn/problems/count-of-smaller-numbers-after-self/description/
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排序+二分解法

使用sorted_num数组按照从小到大的顺序存储当前已经遍历过的元素；
倒序遍历nums数组中的各个元素n，对于n，完成以下迭代
迭代
- 通过二分法找到n在sorted_nums数组中的插入位置index，这个index便是数组sorted_nums中在n右侧且小于n的元素的个数，添加到ans中
- 把n插入到sorted_nums这一有序数组中
输出：由于sorted_nums是从右往左添加的，因此最后输出的时候要重新调整回来

class Solution:def countSmaller(self, nums: List[int]) -> List[int]:if not nums:return []# 按照从小到大的顺序存储当前已经遍历过的所有元素sorted_num = []#存储最终结果ans = []# 倒序遍历for n in nums[::-1]:# 通过二分法找到n在sorted_nums数组中的插入位置indexindex = bisect.bisect_left(sorted_num, n)#把n插入到sorted_nums这一有序数组中bisect.insort(sorted_num, n)ans.append(index)#输出时顺序调整return ans[::-1]