一、引言

决策树构建过程中的特征选择是非常重要的一步。特征选择是决定用哪个特征来划分特征空间，特征选择是要选出对训练数据集具有分类能力的特征，这样可以提高决策树的学习效率。如果利用某一个特征进行分类与随机分类的结果没有很大的差别，则称这个特征是没有分类能力的。这样的特征可以丢弃。常用的特征选择的准则是信息增益和信息增益比。

二、信息增益

要了解信息增益，我们要先知道熵与条件熵的定义。

2.1 熵

熵是无序度的度量，在信息论和统计中，熵表示随机变量不确定性的度量。假设$X$是一个取有限值的离散型随机变量，它的概率分布如下：

$$P(X=x_i)=p_i, i = 1,2,\dots,n$$
则随机变量$X$的熵定义为：
$$H(X) = -\sum_{i=1}^{n}p_i\log p_i$$
$若p_i=0，定义0 \log 0 = 0$,从上式中可以看到，熵只依赖于$X$的分布，而与$X$的取值没有关系。熵越大，随机变量的不确定性就越大。故可以将$X的熵记作H(p):$

$$H(p) = -\sum_{i=1}^{n}p_i\log p_i$$

2.2 条件熵

设有随机变量$(X,Y)$,其联合概率分布为：

$$P(X=x_i, Y= y_j)=p_{ij}, i = 1,2, \dots, n; j = i = 1,2, \dots, m$$
条件熵 $H(Y|X)$表示在已知随机变量 $X$的条件下随机变量$Y$的不确定性。随机变量 $X$给定的条件下随机变量$Y$的条件熵 $H(Y|X)$定义为 $X$给定条件下$Y$的条件概率分布的熵对 $X$的数学期望：
$$H(Y|X)=\sum_{i=1}^{n}p_iH(Y|X=x_i), \\ p_i=P(X=x_i), i = 1,2,\dots,n$$
当熵和条件熵中的概率由数据估计得来时，所对应的熵和条件熵称为经验熵和经验条件熵。

2.3 信息增益

信息增益表示得知特征$X$的信息而使得类$Y$的信息不确定性减少的程度。
信息增益
$特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差：$

$$g(D,A) = H(D) - H(D|A)$$
信息增益大的特征具有更强的分类能力。
根据信息增益准则进行特征选择的方法是：对训练数据集 $D$，计算其每个特征的信息增益，并比较它们的大小，选择最大的特征。

三、信息增益比

通过信息增益选取特征的时候，存在偏向于选择取值较多的特征的问题。使用信息增益比可以纠正这一问题。

信息增益比
$特征A对训练数据集D的信息增益比g_R(D,A)定义为其信息增益g(D,A)与训练数据集D关于特征A的值的熵H_A(D)之比，即:$

$$g_R(D,A) = \frac{g(D,A)}{H_A(D)} \\ H_A(D) = -\sum_{i=1}^{n}\frac{|D_i|}{|D|} \log_2 \frac{|D_i|}{|D|}$$
n 是特征A取值的个数。