【OpenCV 例程200篇】52. 图像的相关与卷积运算
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滤波通常是指对图像中特定频率的分量进行过滤或抑制。图像滤波是在尽可能保留图像细节特征的条件下对目标图像的噪声进行抑制，是常用的图像预处理操作。
数据采集都会带有一定的噪声，图像的噪声可以理解为灰度值的随机变化。对图像在空间域存在的随机噪声，可以通过平滑技术进行抑制或去除，称为空间域图像滤波。
频率域滤波是通过傅里叶变换方法实现的，而空间域滤波则是通过相关与卷积运算实现。常用的平滑处理算法有基于二维离散卷积的高斯平滑、均值平滑，基于统计方法的中值平滑，保留边缘信息的双边滤波、导向滤波等。
空间滤波器是由邻域和定义的操作构成的，滤波器规定了滤波时采用的邻域形状及该区域内像素值的处理方法。滤波器也被称为 “核”、“模板”、“窗口”、“掩模”、“算子”，一般在信号处理中称为 “滤波器”，在数学领域称为 “核”。线性滤波器就是指基于线性核的滤波，也就是卷积运算。
1.1 相关与卷积运算
滤波器核是指像素周围某一大小的矩形邻域，也称为模板、滑动窗口。
**相关运算（Correlation operation）**是利用模板对图像进行邻域操作：将滤波器模板的中心移动到待处理的像素点，对模板区域的各点加权相乘后求和。
大小为 m*n 的核（模板） w 与图像 f(x,y) 的相关运算 (w⋄f)(x,y)(w \diamond f)(x,y)(w⋄f)(x,y) 的数学描述为：
(w⋄f)(x,y)=∑s=−aa∑t=−bbw(s,t)∗f(x+s,y+t)(w \diamond f)(x,y) = \sum_{s=-a}^a \sum_{t=-b}^b w(s,t) * f(x+s,y+t) (w⋄f)(x,y)=s=−a∑at=−b∑bw(s,t)∗f(x+s,y+t)
相关运算的计算步骤如下：
（1）将模板在图像中逐点移动，模板中心移动到被处理的像素点上；
（2）将模板区域中的各点的系数（权值）与图像的像素值相乘，对乘积求和，即加权求和；
（3）将加权求和结果赋值给模板中心的像素。
注意， “相关运算” 中的 “相关” 不是 “有关的”，而是一种特定的数学运算方式。
**卷积运算（Convolution operation）**也是利用模板对图像进行邻域操作，只是把相关运算的模板旋转了 180度。
大小为 m*n 的核（模板） w 与图像 f(x,y) 的卷积运算 (w★f)(x,y)(w \bigstar f)(x,y)(w★f)(x,y) 的数学描述为：
(w★f)(x,y)=∑s=−aa∑t=−bbw(s,t)∗f(x−s,y−t)(w \bigstar f)(x,y) = \sum_{s=-a}^a \sum_{t=-b}^b w(s,t) * f(x-s,y-t) (w★f)(x,y)=s=−a∑at=−b∑bw(s,t)∗f(x−s,y−t)
卷积运算符合交换律、结合律和分配律，即：
f★g=g★ff★(g★h)=(f★g)★hf★(g+h)=(f★g)+(f★h)f \bigstar g = g \bigstar f \\ f \bigstar (g \bigstar h) = (f \bigstar g) \bigstar h \\ f \bigstar (g + h) = (f \bigstar g) + (f \bigstar h) f★g=g★ff★(g★h)=(f★g)★hf★(g+h)=(f★g)+(f★h)
（本图片来自 “小黑鸭” 《OpenCV学习+常用函数记录②：图像卷积与滤波》，特此致谢。）
1.2 图像的边界扩充
相关和卷积运算都要对图像的边界点要进行特殊处理，就需要将边界进行适当扩充。
函数说明：
OpenCV 中提供了函数 cv.copyMakeBorder 进行边界扩充方式，也可以为图像设置边框。
cv.copyMakeBorder(src, top, bottom, left, right, borderType[, dst[, value]]) → dst
参数说明：
- src：进行边界扩充的图像
- top, bottom, left, right：上侧、下侧、左侧、右侧边界扩充的的宽度（像素数）
- value：当 borderType 为 BORDER_CONSTANT 时，以常量（value）填充扩充的边界，默认值为 (0,0,0)
- borderType 边界扩充的类型
- cv2.BORDER_REPLICATE：复制，复制最边缘像素进行填充（aa | abcdefg | gg），中值滤波采用复制法
- cv2.BORDER_REFLECT：对称法，以图像边缘为轴进行对称填充（cba| abcdefg | gfe）
- cv2.BORDER_REFLECTT_101：倒映法，以图像最边缘像素为轴进行对称填充（dcb| abcdefg | fed），函数 filter2D, blur, GaussianBlur, bilateralFilter 中默认的边界处理方法
- cv2.BORDER_WRAP：用另一侧元素来填充这一侧的扩充边界（efg| abcdefg | ab）
- cv2.BORDER_CONSTANT：以常数（value）作为像素值进行扩充（vv | abcdefg | vv）
例程 1.65：图像的边界扩充
# 1.65 图像的边界扩充img = cv2.imread("../images/imgRose1.jpg") # 读取彩色图像(BGR)top = bottom = left = right = 50imgReplicate = cv2.copyMakeBorder(img, top, bottom, left, right, cv2.BORDER_REPLICATE)imgReflect = cv2.copyMakeBorder(img, top, bottom, left, right, cv2.BORDER_REFLECT)imgReflect101 = cv2.copyMakeBorder(img, top, bottom, left, right, cv2.BORDER_REFLECT_101)imgWrap = cv2.copyMakeBorder(img, top, bottom, left, right, cv2.BORDER_WRAP)imgConstant = cv2.copyMakeBorder(img, top, bottom, left, right, cv2.BORDER_CONSTANT, value=(200,200,200))plt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(231), plt.axis([-50,562,-50,562]), plt.title('ORIGINAL'), plt.axis('off')plt.imshow(cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.subplot(232), plt.axis('off'), plt.title('REPLICATE')plt.imshow(cv2.cvtColor(imgReplicate, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.subplot(233), plt.axis('off'), plt.title('REFLECT')plt.imshow(cv2.cvtColor(imgReflect, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.subplot(234), plt.axis('off'), plt.title('REFLECT_101')plt.imshow(cv2.cvtColor(imgReflect101, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.subplot(235), plt.axis('off'), plt.title('WRAP')plt.imshow(cv2.cvtColor(imgWrap, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.subplot(236), plt.axis('off'), plt.title('CONSTANT')plt.imshow(cv2.cvtColor(imgConstant, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.show()
（本节完）
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