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1. 数字系统（Number Systems）

1.1 常见数字系统

系统	基数	符号集	示例	应用场景
二进制	2	0, 1	1010	计算机底层电路、数据存储
八进制	8	0-7	17	Unix文件权限（如chmod 755）
十进制	10	0-9	42	日常计算
十六进制	16	0-9, A-F	0x1F	内存地址、颜色编码（#RRGGBB）

1.2 进制转换方法

• 其他进制 → 十进制：加权求和

  1010_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 10_{10}
  

• 十进制 → 其他进制：短除法取余

  42_{10} \rightarrow 42÷2=21余0 → 21÷2=10余1 → ... → 101010_2
  

• 二进制 ↔ 十六进制：4位分组转换

  1101\_0110_2 → D6_{16}
  

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2. 数据编码（Data Encoding）

2.1 数值编码

编码类型	表示方法	范围（8位）	特点
原码	最高位为符号位（0正1负）	-127 ~ +127	零有+0和-0两种表示
反码	负数：符号位不变，其余位取反	-127 ~ +127	过渡方案，现较少使用
补码	负数：反码+1	-128 ~ +127	现代计算机标准，消除零歧义
移码	补码符号位取反	-128 ~ +127	用于浮点数阶码（如IEEE 754）

示例：

• -5的8位补码表示：

  原码：1000 0101 → 反码：1111 1010 → 补码：1111 1011
  

2.2 字符编码

标准	覆盖范围	存储方式	局限性
ASCII	英文、数字、控制字符（128个）	1字节（7位）	无法表示非拉丁字符
Unicode	全球文字（如中文、emoji）	UTF-8（变长1-4字节）	兼容ASCII，互联网首选
GB2312	简体中文（6763个汉字）	2字节	仅支持简体中文

UTF-8编码规则：

• 1字节：0xxxxxxx（兼容ASCII）
• 2字节：110xxxxx 10xxxxxx
• 3字节：1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
• 4字节：11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx

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3. 高级编码技术

3.1 浮点数编码（IEEE 754）

\text{值} = (-1)^S × 1.M × 2^{E-127}

• 32位单精度：

  S(1位) | E(8位) | M(23位)
  

• 示例：-0.75的二进制表示：

  符号位S=1，0.75=1.1×2^{-1} → E=126(01111110), M=1000...0
  最终：1 01111110 10000000000000000000000
  

3.2 错误检测编码

• 奇偶校验：附加1位使1的个数为奇/偶

  数据：1010 → 偶校验：1010_0（1的个数为偶数）
  

• CRC循环冗余校验：多项式模2除法（用于网络传输）
• 汉明码：可纠正单比特错误的纠错编码

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4. 实际应用案例

4.1 计算机内存存储

• 小端序（Little Endian）：低位字节存储在低地址

  32位整数0x12345678在内存中的存储（地址递增方向）：
  78 56 34 12
  

4.2 图像颜色编码

• RGB24位色：

  R(8位) | G(8位) | B(8位) → 如纯红色：0xFF0000
  

• ARGB32位色：增加透明度通道（Alpha）

4.3 条形码与二维码

• EAN-13条形码：13位数字（前导位+左右数据+校验位）
• QR码：使用Reed-Solomon纠错编码，支持汉字（需UTF-8转换）

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5. 关键问题与解决方案

Q1: 为何计算机使用补码表示负数？

• 解决零的歧义：补码中+0和-0表示相同（均为000...0）
• 简化运算电路：加法器无需区分正负数，统一处理（如5 + (-3)可直接相加）

Q2: UTF-8如何实现变长编码？

• 前缀码设计：通过起始比特模式标识字节数（如110开头的必为2字节字符首字节）
• 兼容性：ASCII字符（0-127）保持单字节不变

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总结

数字系统与编码是计算机科学的基石，理解其原理对以下领域至关重要：

• 硬件设计（如CPU算术单元）
• 数据压缩（如哈夫曼编码）
• 网络安全（如校验和验证）
• 跨平台数据交换（如字符编码转换）

掌握进制转换、补码运算和Unicode处理能力，是开发者的核心技能之一。