一、普通的随机梯度下降法的手写数字识别

1.1 学习流程

1.从训练数据中随机选择一部分数据

2.计算损失函数关于各个权重参数的梯度

这里面用数值微分方法求梯度

3.将权重参数沿梯度方向进行微小的更新

4.重复前三个步骤

1.2 二层神经网络类

params：保存神经网络参数的字典型变量

grads：保存梯度的字典型变量

def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):

input_size：输入层神经元个数

hidden_size：隐藏层神经元个数

output_size：输出层神经元个数

def predict(self, x):

进行识别，x：图像数据

 def loss(self, x, t):

求损失函数，x：图像数据；t：正确解标签

def accuracy(self, x, t):

计算识别精度

 def numerical_gradient(self, x, t):

计算权重参数梯度

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
from common.functions import *
from common.gradient import numerical_gradientclass TwoLayerNet:def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):# 初始化权重self.params = {}self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)self.params['b2'] = np.zeros(output_size)def predict(self, x):W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']a1 = np.dot(x, W1) + b1z1 = sigmoid(a1)a2 = np.dot(z1, W2) + b2y = softmax(a2)return y# x:输入数据, t:监督数据def loss(self, x, t):y = self.predict(x)return cross_entropy_error(y, t)def accuracy(self, x, t):y = self.predict(x)y = np.argmax(y, axis=1)t = np.argmax(t, axis=1)accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])return accuracy# x:输入数据, t:监督数据def numerical_gradient(self, x, t):loss_W = lambda W: self.loss(x, t)grads = {}grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])return grads

    def numerical_gradient(f, x):h = 1e-4 # 0.0001grad = np.zeros_like(x)it = np.nditer(x, flags=['multi_index'], op_flags=['readwrite'])while not it.finished:idx = it.multi_indextmp_val = x[idx]x[idx] = float(tmp_val) + hfxh1 = f(x) # f(x+h)x[idx] = tmp_val - h fxh2 = f(x) # f(x-h)grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2*h)x[idx] = tmp_val # 还原值it.iternext()   return grad

1.3 使用MNIST数据集进行学习

这里面用的是数值微分方法求梯度，速度超级慢。

iters_num是梯度法的更新次数。

batch_size = 100，说明每次从60000个训练数据中随机取出100个数据。

对这100个数据求梯度，然后用梯度下降法更新参数，更新iters_num次。

最后可以画出来一个损失函数的图，的确是下降的。

注：关于什么是epoch

什么是epoch，我们在代码里可以很清楚理解。

先来一段源码分析：

这个代码中，可看出，epochs是len(train_acc_list)。

x = np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label='train acc')
plt.xlabel("epochs")

我们看train_acc_list，它其实是在进行if i % iter_per_epoch == 0判断后，才添加的。

也就是说，每经过一个epoch，就对所有训练数据和测试数据计算识别精度。

那么就可以知道了，epoch的作用就是不那么频繁的记录识别精度，毕竟，只要从大方向上大致把握识别精度即可。

train_acc_list = []
test_acc_list = []
#平均每个epoch的重复次数
iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1)if i % iter_per_epoch == 0:train_acc = network.accuracy(x_train, t_train)test_acc = network.accuracy(x_test, t_test)train_acc_list.append(train_acc)test_acc_list.append(test_acc)print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc))

那现在就知道epoch是什么了吧，其实它就是：网络里面经过多少次数据学习之后再求整体的网络精度。

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from dataset.mnist import load_mnist
from two_layer_net import TwoLayerNet# 读入数据
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)iters_num = 10000  # 适当设定循环的次数
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1train_loss_list = []
train_acc_list = []
test_acc_list = []
#平均每个epoch的重复次数
iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1)for i in range(iters_num):batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)x_batch = x_train[batch_mask]t_batch = t_train[batch_mask]# 计算梯度grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)#grad = network.gradient(x_batch, t_batch)# 更新参数for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'):network.params[key] -= learning_rate * grad[key]loss = network.loss(x_batch, t_batch)train_loss_list.append(loss)#计算每个epoch的识别精度if i % iter_per_epoch == 0:train_acc = network.accuracy(x_train, t_train)test_acc = network.accuracy(x_test, t_test)train_acc_list.append(train_acc)test_acc_list.append(test_acc)print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc))# 绘制图形
'''
markers = {'train': 'o', 'test': 's'}
x = np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label='train acc')
plt.plot(x, test_acc_list, label='test acc', linestyle='--')
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()'''
x = np.arange(len(train_loss_list))
plt.plot(x, train_loss_list, label='train lost')
plt.xlabel("iteration")
plt.ylabel("loss")
plt.ylim(0, 3)
plt.show()

二、基于误差反向传播算法求梯度的手写数字识别

2.1 学习流程

1.从训练数据中随机选择一部分数据

2.计算损失函数关于各个权重参数的梯度

这里面用误差反向传播算法求梯度

3.将权重参数沿梯度方向进行微小的更新

4.重复前三个步骤

2.2 实现与结果分析

和第一个类似，只不过改动了求梯度的函数

    def gradient(self, x, t):W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']grads = {}batch_num = x.shape[0]# forwarda1 = np.dot(x, W1) + b1z1 = sigmoid(a1)a2 = np.dot(z1, W2) + b2y = softmax(a2)# backwarddy = (y - t) / batch_numgrads['W2'] = np.dot(z1.T, dy)grads['b2'] = np.sum(dy, axis=0)da1 = np.dot(dy, W2.T)dz1 = sigmoid_grad(a1) * da1grads['W1'] = np.dot(x.T, dz1)grads['b1'] = np.sum(dz1, axis=0)return grads

然后调用的时候调用下面这句话

grad = network.gradient(x_batch, t_batch)

最终结果：

下面这个图是随着网络对训练数据和测试数据训练次数的增加，网络识别精度的变化。

下面这个图表示，朝着梯度下将方向走10000次过程中，loss逐渐减小。