剪绳子 I

题目描述

• 还是比较偏数学的一道题，通过获取结论来获得最优解
  

思路 && 代码

1. 动态规划 O($n^2$)、O(n)

• dp[i]：长度为 i 的绳子，可达到的最大值
• 状态转移方程：以之前的值，循环组合，找出可取的最大值

class Solution {public int cuttingRope(int n) {if(n <= 3) {return n - 1;}   int[] dp = new int[n + 1];// 1. 初始化dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 3;for(int i = 4; i <= n; i++) {int max = 0;for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {// 2. 状态转移方程max = Math.max(max, dp[j] * dp[i - j]);}dp[i] = max;}return dp[n];}
}

2. 最优解：数学方法 O(n)、O(1)

• 见注释的正确性证明
• 主要做法就是循环地切出3，直到所剩值不大于4为止（ n == 4 时候，直接用是最好的，因为 x * 4 == x* 2 * 2 > x * 3 * 1）

class Solution {public int cuttingRope(int n) {// 数学方法：O(n) & O(1)if(n < 4) {return n - 1;}int res = 1;// 循环切除3while(n > 4) {res *= 3;n -= 3;}// 最后乘一次 1 or 2 or 3 or 4return res * n;}
}
/** 正确性证明（参考评论区大佬）* 1. 任何大于1的数都可由 2 & 3 组成（偶数可2累加，奇数就是前一个偶数加一次3）* 2. 2 * 2 == 1 * 4 ，且 2 * 3 > 1 * 5，因此拆成2 & 3得到积最大* 3. 因为 2 * 2 * 2 < 3 * 3，因此拆成 3 性价比最高
*/

二刷

• 结论题，记住循环切3就行
• 注意边界，n < 4 时直接取 n - 1

class Solution {public int cuttingRope(int n) {if(n < 4) {return n - 1;}int ans = 1;while(n > 4) {n -= 3;ans *= 3;}return n * ans;}
}

剪绳子 II

题目描述

• 相较于1，多了一个取模操作
  

思路 && 代码

class Solution {public int cuttingRope(int n) {if(n < 4) {return n - 1;}long res = 1L;while(n > 4) {res *= 3;res %= 1000000007;n -= 3;}return (int)(res * n % 1000000007);}
}

二刷

• 注意涉及取模，直接用Long，防止溢出

class Solution {public int cuttingRope(int n) {if(n < 4) {return n - 1;}long ans = 1L;while(n > 4) {ans *= 3;ans %= 1000000007;n -= 3;}return (int)(ans * n % 1000000007);}
}