树的知识点总结-数据结构

一：树的基本术语

1.定义
树是一种非线性结构，只有一个根结点，除根结点外每个孩子结点可以有多个后继，没有后继的结点叫叶子结点。
2.概念
根结点：没有前驱；
孩子：有前驱的结点；
双亲结点：孩子结点的前驱；
叶子：没有孩子结点
结点度：结点的分支数；

树的度：一棵树中最大结点度数；
树的深度：树的层次数目；
有序树：结点的子树从左到右有顺序；
森林：多棵互不相交的树的集合；
3.二叉树
**特点：特殊的树，每个结点最多有两棵子树，有左右顺序之分。
性质：
1.第i层上最多2^(i-1)个结点，最少0个；
2.深度k，最多2^k-1个结点，最少k个结点；
3.对于二叉树，终端结点（叶子结点）数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1;
4.总结点数n,分支数B,则n=B+1,n=n0+n1+n2,B=n1+2*n2;
5.具有n个结点的完全二叉树的深度:[log2^n]+1;

二叉树的存储结构：
对于非线性结构，顺序二叉树仅适用于完全二叉树，所有在这采用链式存储。

以下为二叉树的链式存储及基本操作
包含三种递归遍历。

#define CHAR /* 字符型 *//* #define INT /* 整型（二者选一） */#include<string.h>#include<ctype.h>#include<malloc.h> /* malloc()等 */#include<limits.h> /* INT_MAX等 */#include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */#include<stdlib.h> /* atoi() */#include<io.h> /* eof() */#include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */#include<process.h> /* exit() *//* 函数结果状态代码 */#define TRUE 1#define FALSE 0#define OK 1#define ERROR 0#define INFEASIBLE -1typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */#ifdef CHARtypedef char TElemType;TElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */#endif#ifdef INTtypedef int TElemType;TElemType Nil=0; /* 整型以0为空 */#endif/* c6-2.h 二叉树的二叉链表存储表示 */typedef struct BiTNode{TElemType data;struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */}BiTNode,*BiTree;Status InitBiTree(BiTree *T){ /* 操作结果: 构造空二叉树T */*T=NULL;return OK;}void CreateBiTree(BiTree *T){ /* 算法6.4:按先序次序输入二叉树中结点的值（可为字符型或整型，在主程中 *//* 定义），构造二叉链表表示的二叉树T。变量Nil表示空（子）树。有改动 */TElemType ch;#ifdef CHARscanf("%c",&ch);#endif#ifdef INTscanf("%d",&ch);#endifif(ch==Nil) /* 空 */*T=NULL;else{*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));if(!*T)exit(OVERFLOW);(*T)->data=ch; /* 生成根结点 */CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */}}Status BiTreeEmpty(BiTree T){ /* 初始条件: 二叉树T存在 *//* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */if(T)return FALSE;elsereturn TRUE;}#define ClearBiTree DestroyBiTreeint BiTreeDepth(BiTree T){ /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */int i,j;if(!T)return 0;if(T->lchild)i=BiTreeDepth(T->lchild);elsei=0;if(T->rchild)j=BiTreeDepth(T->rchild);elsej=0;return i>j?i+1:j+1;}TElemType Root(BiTree T){ /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的根 */if(BiTreeEmpty(T))return Nil;elsereturn T->data;}void PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){ /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数。算法6.1，有改动 *//* 操作结果: 先序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */if(T) /* T不空 */{Visit(T->data); /* 先访问根结点 */PreOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 再先序遍历左子树 */PreOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后先序遍历右子树 */}}void InOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){ /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 *//* 操作结果: 中序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */if(T){InOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先中序遍历左子树 */Visit(T->data); /* 再访问根结点 */InOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后中序遍历右子树 */}}void PostOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType)){ /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 *//* 操作结果: 后序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */if(T) /* T不空 */{PostOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先后序遍历左子树 */PostOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 再后序遍历右子树 */Visit(T->data); /* 最后访问根结点 */}}Status visitT(TElemType e){#ifdef CHARprintf("%c ",e);#endif#ifdef INTprintf("%d ",e);#endifreturn OK;}void main(){int i;BiTree T,p,c;TElemType e1,e2;InitBiTree(&T);printf("构造空二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));e1=Root(T);if(e1!=Nil)#ifdef CHARprintf("二叉树的根为: %c\n",e1);#endif#ifdef INTprintf("二叉树的根为: %d\n",e1);#endifelseprintf("树空，无根\n");#ifdef CHARprintf("请先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)\n");#endif#ifdef INTprintf("请先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)\n");#endifCreateBiTree(&T);printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));e1=Root(T);if(e1!=Nil)#ifdef CHARprintf("二叉树的根为: %c\n",e1);#endif#ifdef INTprintf("二叉树的根为: %d\n",e1);#endifelseprintf("树空，无根\n");printf("先序递归遍历二叉树:\n");PreOrderTraverse(T,visitT);printf("\n");printf("中序递归遍历二叉树:\n");InOrderTraverse(T,visitT);printf("\n");printf("后序递归遍历二叉树:\n");PostOrderTraverse(T,visitT);}

4.线索二叉树
特征：LTag=0:lchild域指示结点的左孩子
———LTag=1:lchild域指示结点的前驱
———RTag=0:lchild域指示结点的右孩子
———RTag=1:lchild域指示结点的后继
以这种结点结构构成的二叉树链表作为二叉树的存储结构，叫做线索链表，其中指向前驱和后继的指针叫做线索，加上线索的二叉树叫线索二叉树。

5.树、二叉树、森林之间的转换
1.树和二叉树：
树转化成二叉树：1.加线：兄弟相连；2.抹线：长兄为父；3.旋转：顺时针旋转90度；
二叉树转化树：过程相反。
2. 把如图所示的树转化成二叉树。
深度深度