1. 题目

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

《剑指offer》同题 面试题14- I. 剪绳子

来源：力扣（LeetCode）
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2. 解题

• $dp[n]$ 表示获得的最大乘积
• 当 n+1 时，可以拆成 $(1,n),(2,n-1),(3,n-2),\dots ,(n,1)$
• $dp[n+1]=max(1\ast dp[n],2\ast dp[n-1],...,n\ast dp[1],...1\ast n,2\ast (n-1),...,n\ast 1)$

class Solution {
public:int integerBreak(int n) {int dp[n+1] = {0};dp[2] = 1;int i, j;for(i = 3; i <= n; ++i){for(j = 1; j <= i-2; ++j)dp[i] = max(dp[i], max(j*dp[i-j], j*(i-j)));}return dp[n];}
};

class Solution {
public:int cuttingRope(int n) {int dp[n+1] = {0};dp[2] = 1;int i, j;for(i = 3; i <= n; ++i){	for(j = 1; j < i; ++j)dp[i] = max(dp[i], max(j,dp[j])*max(i-j, dp[i-j]));}return dp[n];}
};

n 很大的时候，避免溢出：《剑指offer》面试题14- II. 剪绳子 II

有结论：划分成尽可能多的3，最多2个2

• 求余1，2个2
• 求余2，1个2

class Solution {
public:int cuttingRope(int n) {if(n <= 3)return n-1;//尽可能多的3, 两端最多只有2个2int p = n/3, q = n%3;long long sum = 1;if(q == 1)//多分出3个，凑成4 变成2*2 > 3*1sum *= 4, p -= 1;if(q == 2) sum *= 2;for(int i = 0; i < p; i++){sum = sum * 3 % 1000000007;}return sum;}
};