1. 题目
有 n 位乘客即将登机,飞机正好有 n 个座位。第一位乘客的票丢了,他随便选了一个座位坐下。
剩下的乘客将会:
-
如果他们自己的座位还空着,就坐到自己的座位上,
-
当他们自己的座位被占用时,随机选择其他座位
第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少?
示例 1:
输入:n = 1
输出:1.00000
解释:第一个人只会坐在自己的位置上。示例 2:
输入: n = 2
输出: 0.50000
解释:在第一个人选好座位坐下后,第二个人坐在自己的座位上的概率是 0.5。提示:
1 <= n <= 10^5
来源:力扣(LeetCode)
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2. 解题
1个人,1
2个人,0.5
n个人,分情况讨论,假设n个座位最后一个人坐自己的座位的概率为 f(n)f(n)f(n)
- 1、第一个人在自己位置,最后一个人在自己位置概率概率:1n∗1\frac{1}{n}*1n1∗1
- 2、第一个人在最后一个人的位置,最后一个人在自己位置概率概率:1n∗0\frac{1}{n}*0n1∗0
- 3、第一个人在 2~n-1 号位置,最后一个人在自己位置概率概率:n−2n∗f(n−1)\frac{n-2}{n}*f(n-1)nn−2∗f(n−1)
- 所以加起来,f(n)=1n+n−2n∗f(n−1)f(n) = \frac{1}{n}+\frac{n-2}{n}*f(n-1)f(n)=n1+nn−2∗f(n−1)
- 数学归纳法证明,f(n)=0.5,n≥2f(n)=0.5,n\ge 2f(n)=0.5,n≥2
- f(n+1)=1n+1+n+1−2n+1∗f(n)=1n+1+n+1−2n+1∗12=2+n+1−22∗(n+1)=12f(n+1) = \frac{1}{n+1}+\frac{n+1-2}{n+1}*f(n) = \frac{1}{n+1}+\frac{n+1-2}{n+1}*\frac{1}{2}=\frac{2+n+1-2}{2*(n+1)}=\frac{1}{2}f(n+1)=n+11+n+1n+1−2∗f(n)=n+11+n+1n+1−2∗21=2∗(n+1)2+n+1−2=21,得证
- 不用数学归纳法,可以由 f(n)=1n+n−2n∗f(n−1)f(n) = \frac{1}{n}+\frac{n-2}{n}*f(n-1)f(n)=n1+nn−2∗f(n−1)
- 容易得到 nf(n)+∑i=1n−1f(i)=nnf(n) + \sum\limits_{i = 1}^{n-1}f(i) = nnf(n)+i=1∑n−1f(i)=n
class Solution {
public:double nthPersonGetsNthSeat(int n) {double fn = 1.0, sum_f_i = 1.0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {fn = 1 - sum_f_i/i;sum_f_i += fn;}return fn;}
};
24 ms 6 MB
class Solution {
public:double nthPersonGetsNthSeat(int n) {return n==1 ? 1.0 : 0.5;}
};
0 ms 5.8 MB