因子分析基本思想

    和主成分分析相似，首先从原理上说，主成分分析是试图寻找原有自变量的一个线性组合，取出对线性关系影响较大的原始数据，作为主要成分。

    因子分析，是假设所有的自变量可以通过若干个因子（中间量）被观察到。什么意思呢，举个例子，比如一个学生的考试成绩，语文80，数学95，英语79，物理97，化学94 ，那么我们认为这个学生理性思维较强，语言组织能力较弱。其中理性思维和语言组织能力就是因子。通过这两个因子，我们能够观察到他的偏理科的成绩较高，偏文科的成绩较低。这就是因子分析，通过这点，大家就可以感受到，因子分析和主成分分析是明显不一样的。

    因子分析又存在两个方向，一个是探索性因子分析（exploratory factor analysis）。另一个是验证性因子分析（confirmatory factor analysis）。探索性因子分析是不确定一堆自变量背后有几个因子，我们通过这种方法试图寻找到这几个因子。而验证性因子分析是已经假设自变量背后有几个因子，试图通过这种方法去验证一下这种假设是否正确。验证性因子分析又和结构方程模型有很大关系。后面我们会专门的介绍，今天先介绍探索性因子分析。

数学推导

基于 Python 的因子分析 

数据是来自行业的10 个相关指标，通过因子分析提取出一些反应不同特征的因子出来。最后根据因子对行业进行排名。

import pandas as pd
import numpy as np
from pandas import DataFrame,Series
from factor_analyzer import FactorAnalyzerdatafile = u'D:\\pythondata\\textdata.xlsx'
data = pd.read_excel(datafile)
data = data.fillna(0)#用0填充空值fa = FactorAnalyzer()
fa.analyze(data, 5, rotation=None)#固定公共因子个数为5个
print("公因子方差:\n", fa.get_communalities())#公因子方差
print("\n成分矩阵:\n", fa.loadings)#成分矩阵
var = fa.get_factor_variance()#给出贡献率
print("\n解释的总方差（即贡献率）:\n", var)fa_score = fa.get_scores(data)#因子得分
fa_score.head()#将各因子乘上他们的贡献率除以总的贡献率,得到因子得分中间值
a = (fa.get_scores(data)*var.values[1])/var.values[-1][-1]#将各因子得分中间值相加，得到综合得分
a['score'] = a.apply(lambda x: x.sum(), axis=1)

基于R的因子分析

数据是来自上市公司的财务指标，因此想通过因子分析将财务指标进降维，希望提取出一些反应不同特征的因子出来。最后根据因子对上市公司进行排名。

#设置路径
setwd('D:/Rdata')
#清除空间变量
rm(list = ls())                   
#载入读取excel的包
library(readxl)  
library(psy)     #读取数据
dat.fact <- read_excel(file='MicEcoData.xlsx')
head(dat.fact)
# A tibble: 6 x 8资产负债率 总资产增长率B 基本每股收益增长率B 净利润增长率B 营业利润增长率B 每股收益 每股营业收入<dbl>         <dbl>               <dbl>         <dbl>           <dbl>    <dbl>        <dbl>
1   0.950996      0.324008            0.044776      0.026753        0.056436   0.7000     2.054515
2   0.552744      0.473920            0.315789      0.773855        0.799483   0.2500     0.379673
3   0.068507      1.966211            0.417778      1.195843        1.199118   0.1276     0.251927
4   0.580620      0.338351            1.479791      2.792940        2.749402   0.1902     0.296074
5   0.389105      0.083378           -0.250000     -0.224369       -0.177181   0.0600     0.153072
6   0.755508      0.061588           -0.444444      0.435094        0.435804   0.0500     0.206344
# ... with 1 more variables: 销售净利率 <dbl>
#重新命个名 
names(dat.fact) <- paste('x', 1:ncol(dat.fact), sep='')
#进行因子分析，设置因子个数为两个
factor.result <- factanal(x=dat.fact, factor=2, scores="regression")
#查看图
psy::scree.plot(dat.fact)  
#查看因子分析的各种结果   
names(factor.result)[1] "converged"    "loadings"     "uniquenesses" "correlation"  "criteria"     "factors"     [7] "dof"          "method"       "rotmat"       "scores"       "STATISTIC"    "PVAL"        
[13] "n.obs"        "call"        
print(factor.result)Call:
factanal(x = dat.fact, factors = 2, scores = "regression")Uniquenesses:x1    x2    x3    x4    x5    x6    x7    x8 
0.508 0.005 0.005 0.005 0.005 0.281 0.507 0.710 Loadings:Factor1 Factor2
x1          0.695 
x2  0.997         
x3  0.997         
x4  0.998         
x5  0.998         
x6          0.846 
x7          0.702 
x8  0.251  -0.476 Factor1 Factor2
SS loadings      4.054   1.931
Proportion Var   0.507   0.241
Cumulative Var   0.507   0.748Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.
The chi square statistic is 357.17 on 13 degrees of freedom.
The p-value is 2.4e-68 
> 

现在经过因子分析已经将原来的8个财务指标进行合并，形成了两个因子，那么这两个因子按照加权合并，就形成了一个指标，通过对这一个指标进行排序，就可以得到上市公司的排名。下面是代码实现 ：

# 计算权重
lambdas <- eigen(factor.result$correlation)$value            # 就是特指值所占的比例
(w <- lambdas[1:2]/sum(lambdas[1:2]))0.6391052 0.3608948#计算因子得分
score <- factor.result$scores                                
eva <- score %*% w                                           # 进行排序    eva[,1][1,]  0.44919649[2,] -0.21418681[3,] -0.47822650[4,] -0.22218907[5,] -0.45469601[6,] -0.31123904[7,] -0.33324507[8,] -0.31634880[9,]  0.16510054
[10,]  0.19619702

结论

本节带领大家了解了一下，因子分析。通过因子分析主要发掘变量背后存在的潜变量。并且提到了主成分分析与因子分析的不同，主成分分析主要是想寻找原始特征的一个线性组合。这个组合方差要最大。方差最大保证了主要成分的提取。为了计算方便，提出了一些假设，使得主成分分析成为了一个约束优化问题。而因子分析呢，是从假设开始入手，假设原始特征是由于因子的影响产生的，因此可以写出,从这个表达式逐步进行假设求解。当然呢，主成分分析和因子分析有相似的地方，主要就是求解过程中，都很巧妙地和特征值，特征向量挂起关系。