素数倒数的级数发散性的一个证明

问题    设$\mathbb P$为全体素数的集合,证明级数$$\sum_{p\in\mathbb P}\frac{1}{p}$$

发散.

证明    做这个问题前，必须知道一个常识:全体素数集$\mathbb P$是无限的.所以题中才能作为级数.

如果结论不成立,则存在$k\in\mathbb N$使得$$\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}}<\frac{1}{2}$$

让$m=p_{1}\cdots p_{k}$,那么$$1+mn,\forall n\in\mathbb N$$

的素因子都在$p_{k+1},p_{k+2},\cdots$中,这样的话\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+mn}&\leq\sum_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}}\right)^i<\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^i}\end{align*}

所以左边收敛，这与调和级数发散相矛盾!