随机变量
　目标：将实验结果数量化。实验结构有数字型和非数字型。数字型：降雨量、上车人数等。非数字型：晴天/阴天/下雨、化验结果阴性/阳性等。
　定义：随机试验样本空间S，如果X=X(e)为定义在S上的实数单值函数，则称X(e)为随机变量。简写为X。
　补充：随机变量X(e):S->R 的映射关系。随机变量实质是一个函数。
　　　如果$i\neq j$，那么　$\{X=i\} \cap \{X=j\}=\phi$
　　　一般用大写字母X、Y、Z 或者希腊字母 $\xi$,$\eta$等表示随机变量。
事件表示：$A=\{e:X(e) \in I\}=\{X \in I \},I \in R$
随机变量的类型：离散型随机变量、连续型随机变量

离散型随机变量
　定义：如果随机变量X的取值为有限个，或者可数个，则称X为离散型随机变量。
　补充1：换句话说：如果一个函数自变量是有限个，或者可数个，那这个函数就是离散型随机变量。随机变量，是一种映射关系，是函数。
　补充2：有限是指知道有多少个，例如一枚硬币扔在地上，结果是正面或者反面，两种结果。可数是指能数的。例如正奇数集{1,3,5,7,…}虽然不知道有多少个，但是是可以一个一个的数的。有些情况是可数且有限个。例如人的年龄是可数且有限的，范围从0,1,2,….200。根据目前的资料，没有人年龄超过200的。那这个个数就是201。
　补充3：不可数是无穷集合的一种。一个无穷集合与自然数集合之间不是一一对应的关系，那么这个无穷集合是不可数的（？）。区间[0,1]，开始数：
　　　　　0.34956852…
　　　　　0.58692….
　　　　　0.24986….
那么 0.490… 一定是你没有数到的。0.490…是这么来的：该数小数点后的第i位是第i个被数到的数的第i位加1，约定 9+1=0

　离散型随机变量的概率分布式律
　概率分布律是指随机变量取所有可能取值的情况下，每个取值对应的概率。
　

　
　
　

X	$x_1$	$x_2$	…	$x_k$	…
P	$p_1$	$p_2$	…	$p_k$	…

　分布律的性质： $p_k>=0$; $\sum_{k=1}^{+\infty} p_k=1$
　另外一种表示： $P(X=x_k)=p_k,k=1,2,3...$
　
　离散型随机变量的包含
　0-1分布、二项分布、泊松分布、几何分布都属于离散型随机变量。
　
0-1分布
　定义：若随机变量X可能的取值只有0和1，并且X的概率分布律满足 $p_0=1-p,p_1=p$，其中 $0<p<1$，就称X服从参数为p的0-1分布记为 $X\sim B\left(p\right)$或 $X\sim 0-1\left(p\right)$。0-1分布又称为 贝努力分布。
　其分布律还可以写为 $P(X=K)=p^k(1-p)^{(1-k)}$
　应用
　　1检查产品质量是否合格
　　2新生婴儿的性别
　　3检验种子是否发芽
　　4考试是否通过
二项分布
　关系：如果试验E只有两个可能的结果：A或者 $\overline A$，P(A)=p, $0<p<1$,将E独立的重复进行n次，想了解n重贝努力试验中A发生的次数的统计规律，就是二项分布。
　定义：若X的概率分布律为 $P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{(n-k)},k=0,1,2...,n>=1$, $,0<p<1$，就称X服从参数n，p的二项分布，记为 $X\sim B(n,p)$。

泊松分布
　如果X的概率分布为$P(X=k)=\dfrac{\lambda ^k e^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,3...,$$\lambda > 0$，就称X服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim \pi(\lambda)$或者$X\sim P(\lambda)$。
　根据泰勒展开式$e^\lambda = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac {\lambda ^k}{k!}$
　如果某事件以固定强度$\lambda$，随机且独立的出现，该事件在单位事件内出现的次数可以看成是泊松分布。
　当二项分布的n>10,p<0.1时，二项分布B(n,p)可以用泊松分布P(np)来近似。换句话说：当n远远大于p的时候，泊松分布是二项分布的近似计算公式。
　例如：某地区一个月内（单位时间）每200个成年人中会有1个人患上某种疾病（一定概率），设个人是否患病相互独立（随机且独立）。求如果该地某一社区内有1000个成年人，求某月内该社区至少有3人患病的概率。

几何分布
　若X的概率分布律为：$P(X=K)=p(1-p)^{k-1}$，k=1,2,3… 称为X服从参数为p的几何分布，记为$X\sim Geom(p)$。表示在多重贝努力试验中，试验进行到某一结果第一次出现为止，此时需要的试验次数的分布律。
　　　　　
概率分布函数
　定义：随机变量X对任意实数x，称函数F(x)=P(X<=x)为X的概率分布函数，简称分布函数。
　补充：任何随机变量都有对应的分布函数
　目的：给出随机变量落在某个范围的可能性。
　性质：1 0<=F(x)<=1;2 F(x)单调不减；3 $F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$;4 F(x)是右连续函数，F(x+0) = F(x)。
　计算：$P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a)$
　　　　$P(a<X<b)=P(a<X\leq b-0)=F(b-0)-F(a)$
　一般离散型随机变量的分布函数是分段函数。设随机变量X的分布律为P{X=x_k}=p_k,k=1,2,3… X的分布函数为F(x)=$\sum_{x_k<=x}p_k$.F(x)在x=x_k处有跳跃，其跳跃值为p_k=P{X=x_k}。

连续型随机变量
　定义：随机变量X的取值范围不可数，则称X为连续型随机变量。
　分类：均匀分布、指数分布、正态分布。

连续型随机变量的概率密度
　定义：对于随机变量Ｘ的分布函数F(x)，若存在非负的函数f(x)，使对于任意实数x有：$F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$。则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。有时候也写为$f_X(x)$。
　性质
　　1 f(x)>=0
　　2 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$
　　3 对于任意实数$x_1$,$x_2$，$x_1<x_2$，$P(x_1<x<x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt$
　　4 X落在点x附近($x,x+\Delta x$)的概率近似等于 $f(x)\Delta x$。f(x)可以大于1，f(x)的大小表示了X落在x附近的可能性大小，f(x)与F(x)之间是积分与微分的关系。
　

均匀分布
　若随机变量X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases} \dfrac {1}{b-a},x\in (a,b) \\0 ,其他\end{cases}$，$a<b$，称X服从(a,b)上的均匀分布。记为 $X \sim U(a,b)$
　
　　
　性质：均匀分布具有等可能性。X落入$(a,b)$区间中等长度的任意子区间上是等可能的。
　
指数分布
　若随机变量X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases} \lambda e ^{-\dfrac{x}{\lambda}},x> 0 \\0 ,x\leq 0 \end{cases}$ ，称X服从$\lambda$的指数分布。记为 $X \sim E(\lambda)$ 或者 $X \sim Exp(\lambda)$
　分布函数为$F(x)=\begin{cases} {1-e^{-\lambda x}},x >0 \\0, x\leq 0 \end{cases}$
　性质：指数分布具有无记忆性。$P(X>t_0+t|X>t_0)=e^{-\lambda t}=P(X>t)$
　应用
　　指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔，中文维基百科出现一条新词条的时间间隔。在排队论中，一个顾客接受服务时间的长短也服从指数分布。

正态分布
　若随机变量X的概率密度函数为$f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}$ ，$-\infty<\mu < +\infty$，$\sigma > 0$，称X服从参数$\mu$,$\sigma$的正态分布。记为：$X\sim N(\mu,\sigma ^2)$。
　
　性质
　　1f(x)关于$x=\mu$对称。
　　2 当$x\leq \mu$的时候，f(x)严格单调递增。
　　3 $f_{max}=f(\mu)=\dfrac {1}{\sqrt{2\pi} \sigma}$
　　4 $\lim _{|x-\mu|->\infty} f(x)=0$
　两个参数的含义
　　1 固定$\sigma$，f(x)形状不变，移动位置，$\mu$为位置参数。
　　2 固定$\mu$，f(x)位置不变，$\sigma$小，图形高瘦，$\sigma$大，图形宽胖。称为尺度参数。
　应用
　1 测量误差。$3\sigma$
　2 人的身高、体重
　正态分布的计算
　方法一：用excel、matlab计算
　方法二：数值积分
　方法三：转为标准正态分布，查表。
标准正态分布
　$X\sim N(0,1)$，X称为正态分布。
　$\Phi(-z_0)=1-\Phi(z_0)$
　转换公式
　
　

随机变量函数的分布
　随机变量函数的分布=函数的函数的分布。已知随机变量X的分布，Y=g(X)，g(X)已知，求Y的分布。
　
　　

　一般地，如果$X\sim N(\mu,\sigma ^2)$，如果$Y=ax+b$，则$Y\sim N(a\mu+b,a^2\sigma ^2)$。