今天看了《计算机程序设计艺术卷1》的部分内容。也希望更深入了解一下数学归纳法。所以将网页基本算重新写了一遍，写下证明过程。

理论Theorem

$1^3=1$
$2^3=3+5$
$3^3=7+9+11$
$4^3=13+15+17+19$
…
总的来说：
$\forall n \in N_{>0},n^3=\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)=(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+...+(n^2-n+2*n-1))$，
特别说明：$(n+1)^3$的第一项比$n^3$的最后一项大2。

归纳法证明

$\forall n \in N_{>0},假设P(n)是 n^3=\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)$

归纳法基准

$P(1)成立$，因为 $1^3=1$成立。

归纳法假设

假设$P(k)$为真，$\forall k >=1$。也就是说$k^3=(k^2-k+1)+(k^2-k+3)+...+(k^2-k+2k-1)$
我们需要证明：$(k+1)^3=[(k+1)^2-(k+1)+1]+[(k+1)^2-(k+1)+3]+...+[(k+1)^2-(k+1)+2(k+1)-1]$

证明步骤

因为：$(k+1)^2-(k+1)+j=k^2-k+j+2k$，所以$P(k+1)$的前k项与$P(k)$相比，多出2k。
令$T_k=(k^2-k+1)+(k^2-k+3)+...+(k^2-k+2k-1)$

$T(k+1)=[(k+1)^2-(k+1)+1]+[(k+1)^2-(k+1)+3]+...+[(k+1)^2-(k+1)+2(k+1)-1] \\ =T(k)+k(2k)+[(k+1)^2-(k+1)+2(k+1)-1] \\=k^3+2k^2+k^2+2k+1+k+1-1\\=k^3+3k^2+3k+1\\=(k+1)^3$
推出在P(k)成立的前提下，P(k+1)成立。
所以：
$\forall n \in N_{>0},n^3=\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)=(n^22-n+1)+(n^2-n+3)+...+(n^2-n+2*n-1))$

从定义证明

$\forall n \in N_{>0},n^3=\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)=(n^2-n+1)+(n^2-n+3)+...+(n^2-n+2*n-1))$

$\sum^{n}_{i=1}(n^2-n+2*i-1)\\=n^3-n^2+\sum^n_{i=1}(2*i-1)\\=n^3-n^2+n^2\\=n^3$