leetcode习题287 Find the Duplicate Number 在答案中看到了floyd’s tortoise and hare 算法，知道了如果有限状态机、迭代函数或者链表存在环，那么是需要算法检测环是否存在。检测算法有三种:Floyd龟兔算法、Brent算法、Gosper算法。

Floyd龟兔算法

算法描述

Floyd龟兔算法是一种指针算法。该算法仅使用移动速度不同的两个指针就能检测出是否有环。Floyd龟兔算法解决以下问题：1检测是否有环。2环的起点节点。3环的长度。
1 检测是否有环。
想象在一个环形跑道上跑步，两个人同时出发，出发以后速度快的人终究会在某一点和速度慢的人相遇。一般这个时候相遇，速度快的人比速度慢的人至少多跑一圈。

我们假设列表的开始节点是S，环上的起始节点是P，第一次相遇的节点是M。S和P的距离是p，从P和M的距离是m,从M到p的距离是n。指针t和h初始状态下都指向S。接着t每次只有1步，h每次走2步。只要二者没有相遇，就一直按着这个速度走下去。当h无法前进（到达队列末尾）的时候，可以判断没有环。如果t和h在某点再次相遇，则确定有环。
举一个迭代函数的例子。有函数f定义域和值域都是 S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}，从$x_0=2$开始，不断重复调用f，能够产生一个序列：2,0,6,3,1,6,3,1,6,3,1…产生了一个环：6,3,1。

定义：S是一个有限集合，f是一个函数，从S到S的一个映射，$x_0$可以是S中的任意一个元素。对于任意的$i>0$，$x_i=f(x_{i-1})$。$\mu$是换上的起点节点的最小下标，$\lambda$是环的长度。一定有$x_{\mu }=x_{\lambda +\mu }$
证明：如果有环存在，则对于任意的整数$i>=\mu$并且$k>0$，都有$x_i=x_{i+k\lambda }$。对于特定的k来讲，一定存在使得$i=k\lambda$，那这时候$x_i=x_{2i}$。至此，说明了速度不同的两个指针可以在某点相遇。

2 计算环长度
当t和h相遇在M点。因为相遇的点一定在环上。这时候保存h不动，t按之前的速度继续前进，直到和h再次相遇，这个过程中移动的步数就是环的长度。

3 环的起始节点确定
在确定是否有环的过程中，h走的距离是t走的距离的2倍。c为环长。t走的距离是 $s1=p+m+a\ast c$，h走的距离是$2\ast s1=p+m+b\ast c$,两式子相减得到：$s1=(b-a)\ast c=p+m+a\ast c$,得到p+m=环的整数倍。
为了找到环的起点，t回到起点，h在当前位置。同时向前，他们再次相遇一定在P点。为什么呢？因为从S到P的距离是p，从P到M的距离是m，因为m+p是环长的整数倍，所以当h走过距离p的时候也一定达到了P点。

算法时间复杂度：令S到P的距离为m，环的长度为n，时间复杂度$O(m+n)$。
空间复杂度：O(1)。

参考
网页1
网页2
网页3