【数据结构与算法】【算法思想】动态规划

贪心算法
回溯算法
分治算法
动态规划

贪心：一条路走到黑，就一次机会，只能哪边看着顺眼走哪边
回溯：一条路走到黑，无数次重来的机会，还怕我走不出来 (Snapshot View)
动态规划：拥有上帝视角，手握无数平行宇宙的历史存档，同时发展出无数个未来 (Versioned Archive View)

初识动态规划、动态规划理论、动态规划实战

初识动态规划

动态规划比较适合用来求解最优问题，比如求最大值，最小值等。可以非常显著地降低时间复杂度，提高的执行效率。

0-1背包问题

使用回溯算法：

使用回溯法复杂度比较高，是指数级别的，规律不好找。递归树中的每个节点表是一种状态，我们用（I,cw）来表示。其中，i表示将要决策第几个物品是否要装入背包，cw表示当前背包中物品的总重量。如（2,2）表示我们将要决策第2个物品是否要装入背包，在决策前，背包中的物品总重量是2。

在这里插入图片描述

从递归树中，可发现有些子问题的求解是重复的，如图中f(2,2)和f(3,4)都被重复计算了两次。我们可借助“备忘录”的解决方式，记录已经计算好的f(I,cw)，当再次计算到重复的f(I,cw)的时候，可以直接从备忘录中取出来用，就不用在递归计算了，这样就可以避免冗余计算。


private int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到maxW中
private int[] weight = {2，2，4，6，3};  // 物品重量
private int n = 5; // 物品个数
private int w = 9; // 背包承受的最大重量
private boolean[][] mem = new boolean[5][10]; // 备忘录，默认值false
public void f(int i, int cw) { // 调用f(0, 0)if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了，i==n表示物品都考察完了if (cw > maxW) maxW = cw;return;}if (mem[i][cw]) return; // 重复状态mem[i][cw] = true; // 记录(i, cw)这个状态f(i+1, cw); // 选择不装第i个物品if (cw + weight[i] <= w) {f(i+1,cw + weight[i]); // 选择装第i个物品}
}

使用动态规划算法：

把整个求解过程分为n个阶段，每个阶段会决策一个物品是否放置到背包中。每个物品决策（放入或者不放入背包）完之后，背包中的物品的重量会有很都情况，会达到多种不同的状态，对应到递归树中，就是很多不同的节点。
把每一层重复的状态（节点）合并，只记录不同的状态，然后基于上一层的状态集合，来推导下一层的状态集合。我们可以通过合并每一层重复的状态，这样就保证每一层不同状态的个数都不会超过w个（w表示背包的承载重量），这就避免了每层状态个数的指数级增长。
用一个二维数组states[n],[w+1]，来记录每层可以达到的不同状态

第0个（下标从0开始编号）物品的重量是2，要么转入背包，要么不装入背包，决策完之后，会对应背包的两种状态，背包中物品的总重量是0或者2。我们用states[0][0]=true和states[0][2]=true来表示这两种转态。
第1个物品的重量也是2，基于之前的背包状态，在这个物品决策完之后，不同的状态有3个，背包中物品总重量分别是0(0+0)，2(0+2 or 2+0)，4(2+2)。我们用states[1][0]=true，states[1][2]=true，states[1][4]=true来表示这三种状态。
在这里插入图片描述


weight:物品重量，n:物品个数，w:背包可承载重量
public int knapsack(int[] weight, int n, int w) {boolean[][] states = new boolean[n][w+1]; // 默认值falsestates[0][0] = true;  // 第一行的数据要特殊处理，可以利用哨兵优化if (weight[0] <= w) {states[0][weight[0]] = true;}for (int i = 1; i < n; ++i) { // 动态规划状态转移for (int j = 0; j <= w; ++j) {// 不把第i个物品放入背包if (states[i-1][j] == true) states[i][j] = states[i-1][j];}for (int j = 0; j <= w-weight[i]; ++j) {//把第i个物品放入背包if (states[i-1][j]==true) states[i][j+weight[i]] = true;}}for (int i = w; i >= 0; --i) { // 输出结果if (states[n-1][i] == true) return i;}return 0;
}

用回溯算法解决这个问题的时间复杂度O(2^n)，是指数级的。动态规划方案的时间复杂度是O(n*w)。n表是物品个数，w表是背包可以承载的总重量。
尽管动态规划的执行效率比较高，但是我们需要额外申请一个n乘以w+1的二维数组，对空间消耗比较多。所以动态规划是一种空间换时间的解决思路。
但实际上，只需要一个大小为w+1的一维数组就可以解决这个问题。动态规划状态转移的过程，都可以基于这个一维数组来操作。


public static int knapsack2(int[] items, int n, int w) {boolean[] states = new boolean[w+1]; // 默认值falsestates[0] = true;  // 第一行的数据要特殊处理，可以利用哨兵优化if (items[0] <= w) {states[items[0]] = true;}for (int i = 1; i < n; ++i) { // 动态规划for (int j = w-items[i]; j >= 0; --j) {//把第i个物品放入背包if (states[j]==true) states[j+items[i]] = true;}}for (int i = w; i >= 0; --i) { // 输出结果if (states[i] == true) return i;}return 0;
}

0-1背包问题升级版

基础的背包问题，只涉及背包的重量和物品重量，现在引入物品价值这个一个变量。对于一组不同重量，不同价值，不可分割的物品，在满足背包最大重量限制的前提下，背包中可装入物品的总价值最大是多少？

采用回溯算法：
在递归树中，每个节点表示一个状态，需要3个变量（I，cw，cv）来表示一个状态。其中，i表示即将要决策第i个物品是否装入背包，cw表示当前背包中物品的总重量，cv表示总价值。
在递归树中，有几个节点的i和cw是完全相同的，比如f(2,2,4)和f(2,2,3)。在背包中物品总重量一样的情况下，f(2,2,4)这种状态对应的物品总价值更大，可以舍弃f(2,2,3)这种状态，只需要沿着f(2,2,4),这条策略线继续往下决策就可以
即对于（I,cw）相同的不同状态，我们只需要保留cv值最大的那个，继续递归处理，其他状态不予考虑。


private int maxV = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到maxV中
private int[] items = {2，2，4，6，3};  // 物品的重量
private int[] value = {3，4，8，9，6}; // 物品的价值
private int n = 5; // 物品个数
private int w = 9; // 背包承受的最大重量
public void f(int i, int cw, int cv) { // 调用f(0, 0, 0)if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了，i==n表示物品都考察完了if (cv > maxV) maxV = cv;return;}f(i+1, cw, cv); // 选择不装第i个物品if (cw + weight[i] <= w) {f(i+1,cw+weight[i], cv+value[i]); // 选择装第i个物品}
}

在这里插入图片描述

采用动态规划算法：
还是把整个求解过程分为n个状态，每个阶段会决策一个物品是否放到背包中。每个决策完之后，背包中的物品的总重量以及总价值，会有多种情况，也就是会达到多种不同的状态。
用一个二维数组states[n][w+1]，来记录每层可以达到的不同状态。不过这里数组存储的值不在是boolean类型的了，而且当前状态对应的最大总价值，我们把每一层中（I,cw）重复的状态（节点）合并，只记录了cv值最大的那个状态，然后基于这些状态来推导下一层的状态。


public static int knapsack3(int[] weight, int[] value, int n, int w) {int[][] states = new int[n][w+1];for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始化statesfor (int j = 0; j < w+1; ++j) {states[i][j] = -1;}}states[0][0] = 0;if (weight[0] <= w) {states[0][weight[0]] = value[0];}for (int i = 1; i < n; ++i) { //动态规划，状态转移for (int j = 0; j <= w; ++j) { // 不选择第i个物品if (states[i-1][j] >= 0) states[i][j] = states[i-1][j];}for (int j = 0; j <= w-weight[i]; ++j) { // 选择第i个物品if (states[i-1][j] >= 0) {int v = states[i-1][j] + value[i];if (v > states[i][j+weight[i]]) {states[i][j+weight[i]] = v;}}}}// 找出最大值int maxvalue = -1;for (int j = 0; j <= w; ++j) {if (states[n-1][j] > maxvalue) maxvalue = states[n-1][j];}return maxvalue;
}

动态规划理论

动态规划理论之最优子结构，无后效性和重复子问题

1，“一个模型三个特征”理论讲解
什么样的问题适合用动态规划来解决？
（1）“一个模型”
它指的是动态规划适合解决的问题的模型，“多阶段决策最优解模型”。
一般是用动态规划来解决最优问题，而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应一组状态。然后我们寻找一组决策序列，经过这组决策序列，能够产生最终期望求解的最优值。
（2）“三个特征”：
他们分别是最优子结构，无后效性和重复子问题
1，最优子结构：
最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。即反之讲，可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。
若把最优子结构，对应到前面定义的动态规划问题模型上，也可以理解为后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来。
2，无后效性：
无后效性有两层含义，第一层含义是，在推导后面阶段的状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步步推导出来的，第二层含义是，某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响，无后效性是一个非常“宽松”的要求。只要满足前面提到的动态规划问题模型，基本上都会满足无后效性。
3，重复子问题
不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态

两种动态规划解题思路总结
解决动态规划问题，一般有两种思路，分别可叫作，状态转移表法和状态转移方程法
在这里插入图片描述
用回溯算法来解决这个问题。如果你自己写一下代码，画一下递归树，就会发现，递归树中有重复的节点。重复的节点表示，从左上角到节点对应的位置，有多种路线，这也能说明这个问题中存在重复子问题。
如果我们走到 (i, j) 这个位置，我们只能通过 (i-1, j)，(i, j-1) 这两个位置移动过来，也就是说，我们想要计算 (i, j) 位置对应的状态，只需要关心 (i-1, j)，(i, j-1) 两个位置对应的状态，并不关心棋子是通过什么样的路线到达这两个位置的。而且，我们仅仅允许往下和往右移动，不允许后退，所以，前面阶段的状态确定之后，不会被后面阶段的决策所改变，所以，这个问题符合“无后效性”这一特征。
刚刚定义状态的时候，我们把从起始位置 (0, 0) 到 (i, j) 的最小路径，记作 min_dist(i, j)。因为我们只能往右或往下移动，所以，我们只有可能从 (i, j-1) 或者 (i-1, j) 两个位置到达 (i, j)。也就是说，到达 (i, j) 的最短路径要么经过 (i, j-1)，要么经过 (i-1, j)，而且到达 (i, j) 的最短路径肯定包含到达这两个位置的最短路径之一。换句话说就是，min_dist(i, j) 可以通过 min_dist(i, j-1) 和 min_dist(i-1, j) 两个状态推导出来。这就说明，这个问题符合“最优子结构”。

1，状态转移表法
回溯法-〉递归树-〉重复子问题-〉备忘录/动态规划
一般能用动态规划解决的问题，都可以使用回溯算法的暴力搜索解决。所以，当拿到问题时，可以先用简单的回溯算法解决，然后定义状态，每个状态表示一个节点，然后对应画出递归树。
从递归树中，很容易可以看出是否存在重复子问题，以及重复子问题是如何产生的。以此来寻找规律，看是否能用动态规划解决。
找到重复子问题之后，有两种处理思路，**第一种是直接用回溯加“备忘录”的方法，来避免重复子问题。**从执行效率上来将，这和动态规划的解决思路没有差别，第二种是使用动态规划的解决方法，状态转移表法。
回溯


private int minDist = Integer.MAX_VALUE; // 全局变量或者成员变量
// 调用方式：minDistBacktracing(0, 0, 0, w, n);
public void minDistBT(int i, int j, int dist, int[][] w, int n) {// 到达了n-1, n-1这个位置了，这里看着有点奇怪哈，你自己举个例子看下if (i == n && j == n) {if (dist < minDist) minDist = dist;return;}if (i < n) { // 往下走，更新i=i+1, j=jminDistBT(i + 1, j, dist+w[i][j], w, n);}if (j < n) { // 往右走，更新i=i, j=j+1minDistBT(i, j+1, dist+w[i][j], w, n);}
}

递归树
在这里插入图片描述

重复子问题
在这里插入图片描述

备忘录/动态规划


public int minDistDP(int[][] matrix, int n) {int[][] states = new int[n][n];int sum = 0;for (int j = 0; j < n; ++j) { // 初始化states的第一行数据sum += matrix[0][j];states[0][j] = sum;}sum = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始化states的第一列数据sum += matrix[i][0];states[i][0] = sum;}for (int i = 1; i < n; ++i) {for (int j = 1; j < n; ++j) {states[i][j] = matrix[i][j] + Math.min(states[i][j-1], states[i-1][j]);}}return states[n-1][n-1];
}

状态转移表法
先画出一个状态表，状态表一般都是二维的其中每个状态包含三个变量，行，列，数组值。我们根据决策的先后过程，从前往后，根据递推关系，分阶段填充状态表中的每个状态。最后，将这个递推填表的过程，翻译成代码，就是动态规划代码了。

状态转移方程法：
状态转移方程有点类似递归的解题思路，需要分析，某个问题如何通过子问题来递归求解，也就是所谓的最优子结构。根据最优子结构，写出递归公式，也就是所谓的状态转移方程。有了状态转移方程，代码实现就非常简单了，一般情况下，有两种代码实现的方法，一种是递归加“备忘录”，另一种是迭代递推。


private int[][] matrix = {{1，3，5，9}, {2，1，3，4}，{5，2，6，7}，{6，8，4，3}};
private int n = 4;
private int[][] mem = new int[4][4];
public int minDist(int i, int j) { // 调用minDist(n-1, n-1);if (i == 0 && j == 0) return matrix[0][0];if (mem[i][j] > 0) return mem[i][j];int minLeft = Integer.MAX_VALUE;if (j-1 >= 0) {minLeft = minDist(i, j-1);}int minUp = Integer.MAX_VALUE;if (i-1 >= 0) {minUp = minDist(i-1, j);}int currMinDist = matrix[i][j] + Math.min(minLeft, minUp);mem[i][j] = currMinDist;return currMinDist;
}