【数据结构与算法】【算法思想】回溯算法

贪心算法
回溯算法
分治算法
动态规划

回溯算法思想应用广泛，除了用来指导深度优先搜索这种经典算法设计之外，还可以用在如正则表达式匹配，编译原理中的语法分析等。

除此之外，很多经典的数学问题都可以用回溯算法解决，比如数独，八皇后，0-1背包，图的着色，旅行商问题，全排列等等。

一：如何理解“回溯算法”

回溯的处理思想，有些类似枚举搜索。枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律的枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，所以把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段都有多个选择，先随意选择一个，当发现走不通时，就退回到上一个岔路口，另选一种走法继续走。
常用在“搜索”问题：在一组可能的解中，搜索满足期望的解

二：例子

八皇后问题

有一个8X8的棋盘，希望往里放8个棋子，每个棋子所在的行，列，对角线都不能有另一个棋子。

第一幅图满足要求，第二幅度图不满足，八皇后问题就是期望找到所有满足这种要求的的放棋子的方式。
我们把这个问题划分成8个阶段，依次将8个棋子放到第一行，第二行，第三行……第八行。


int[] result = new int[8];//全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列
public void cal8queens(int row) { // 调用方式：cal8queens(0);if (row == 8) { // 8个棋子都放置好了，打印结果printQueens(result);return; // 8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return}for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有8中放法if (isOk(row, column)) { // 有些放法不满足要求result[row] = column; // 第row行的棋子放到了column列cal8queens(row+1); // 考察下一行}}
}private boolean isOk(int row, int column) {//判断row行column列放置是否合适int leftup = column - 1, rightup = column + 1;for (int i = row-1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考察每一行if (result[i] == column) return false; // 第i行的column列有棋子吗？if (leftup >= 0) { // 考察左上对角线：第i行leftup列有棋子吗？if (result[i] == leftup) return false;}if (rightup < 8) { // 考察右上对角线：第i行rightup列有棋子吗？if (result[i] == rightup) return false;}--leftup; ++rightup;}return true;
}private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个二维矩阵for (int row = 0; row < 8; ++row) {for (int column = 0; column < 8; ++column) {if (result[row] == column) System.out.print("Q ");else System.out.print("* ");}System.out.println();}System.out.println();
}

0-1背包

0-1背包是非常经典的算法问题，很多场景都可以抽象炒年糕这个问题模型。这个问题的经典解法是动态规划，不过还有一种简单但没有那么高效的解法，就是回溯算法。
0-1背包问题有很多变体，例如：有一个背包，背包总的承载重量是Wkg。现在有n个物品的重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装载到背包中，在不超过所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？
这个背包问题，在贪心算法中有提到，但在贪心算法中讲的物品是可以分割的，可以将物品的一部分装进背包。此处的背包问题，物品是不可分割的，要么装要么不装，所以叫0-1背包问题。
对于每个物品来说，都有两种选择，装进背包或在着不装进背包。对于n个物品来说，中的装法就有2^n种，去掉总重量超过过W kg的，从剩下的装法中选择中重量最接近W kg的。

可以用回溯的方法，不重复的找到2^n种装法。把物品依次排列，整个问题就分解为了n个阶段，每个阶段对应的一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或是不装进去，然后在递归地处理剩下的物品。


public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值
// cw表示当前已经装进去的物品的重量和；i表示考察到哪个物品了；
// w背包重量；items表示每个物品的重量；n表示物品个数
// 假设背包可承受重量100，物品个数10，物品重量存储在数组a中，那可以这样调用函数：
// f(0, 0, a, 10, 100)
public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) {if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了;i==n表示已经考察完所有的物品if (cw > maxW) maxW = cw;return;}f(i+1, cw, items, n, w);//不选择当前物品，直接考虑下一个（第 i+1 个），故 cw 不更新if (cw + items[i] <= w) {// 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了f(i+1,cw + items[i], items, n, w);//表示选择了当前物品，故考虑下一个时，cw 通过入参更新为 cw + items[i]}
}

2 正则表达式

正则表达式里最重要的一种算法思想就是回溯。
正则表达式中，最重要的就是通配符，通配符结合在一起，可以表达非常丰富的语义。假设：正则表达式中只包含 “”和“？”这两种通配符，并且对这两种通配符的语义稍微做些改变。其中，“”匹配任意多个（大于等于0个）任意字符，“？”匹配零个或者一个任意字符。基于以上背景假设，看下如何用回溯算法，判断一个给定的文本，能否跟给定的正则表达式匹配？
依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，就直接跟文本的字符进行匹配，如果相同，则继续往下处理；如果不同，则回溯。
如果遇到特殊字符的时候，就有多种处理方式，如“*”有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，我们就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去，就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后继续匹配剩下的字符。


public class Pattern {private boolean matched = false;private char[] pattern; // 正则表达式private int plen; // 正则表达式长度public Pattern(char[] pattern, int plen) {this.pattern = pattern;this.plen = plen;}public boolean match(char[] text, int tlen) { // 文本串及长度matched = false;rmatch(0, 0, text, tlen);return matched;}private void rmatch(int ti, int pj, char[] text, int tlen) {if (matched) return; // 如果已经匹配了，就不要继续递归了if (pj == plen) { // 正则表达式到结尾了if (ti == tlen) matched = true; // 文本串也到结尾了return;}if (pattern[pj] == '*') { // *匹配任意个字符for (int k = 0; k <= tlen-ti; ++k) {rmatch(ti+k, pj+1, text, tlen);}} else if (pattern[pj] == '?') { // ?匹配0个或者1个字符rmatch(ti, pj+1, text, tlen);rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);} else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) { // 纯字符匹配才行rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);}}
}