1 题目理解

Given a triangle array, return the minimum path sum from top to bottom.
For each step, you may move to an adjacent number on the row below.

输入：一个三角形数组List<List> triangle
输出：从顶层走到底层最小路径和
规则：每次只能从上一层走到下一层的相邻单元。相邻单元是指与上一层下标相同，或者上一层下标+1。

Example 1:
Input: triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
Output: 11
Explanation: The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

2 解题

2.1 动态规划

2
3 4
6 5 7
4 1 8 3

用dp[i][j]表示达到第i层第j列位置的最小路劲和。
根据题意，要想达到（i,j）只能通过(i-1,j)或者(i-1,j-1)两种方式达到。
那动态转移方程是:$$dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j]$$
初始化条件：dp[0][0]=triangle[0][0]
最后结果是在最后一层数组中查找最大值

class Solution {public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {int m = triangle.size();int n = triangle.get(m-1).size();int[][] dp = new int[m][n];dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);for(int i=1;i<m;i++){int len = triangle.get(i).size();for(int j=0;j<len;j++){dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;if(j==0) {dp[i][j] = dp[i-1][j]+triangle.get(i).get(j);}else if(j==len-1){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+triangle.get(i).get(j);}else{dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+triangle.get(i).get(j);}}}int min = dp[m-1][0];for(int j=1;j<n;j++){min = Math.min(min,dp[m-1][j]);}return min;}
}

时间复杂度:$O(n^2)$，n是triangle的长度。

2.2 优化空间

仔细观察我们发现动态转移方程只与i-1有关系，所以我们可以使用滚动数组来实现。

class Solution {public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {int m = triangle.size();int n = triangle.get(m-1).size();int[] dp = new int[1];dp[0] = triangle.get(0).get(0);for(int i=1;i<m;i++){int len = triangle.get(i).size();int[] newDp = new int[len];for(int j=0;j<len;j++){newDp[j] = Integer.MAX_VALUE;if(j==0) {newDp[j] = dp[j]+triangle.get(i).get(j);}else if(j==len-1){newDp[j] = dp[j-1]+triangle.get(i).get(j);}else{newDp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-1])+triangle.get(i).get(j);}}dp = newDp;}int min = dp[0];for(int j=1;j<dp.length;j++){min = Math.min(min,dp[j]);}return min;}
}

2.3进一步优化空间

方程中计算j的时候只与j和j-1相关。如果我们的只有一个数组int[] dp，那我们可以从右到左计算。
我们计算dp[j]的时候使用了dp[j]和dp[j-1]，
在计算dp[j-1]的时候使用dp[j-1]和dp[j-2]，与dpp[j]无关，所以可以这样做。

class Solution {public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {int m = triangle.size();int n = triangle.get(m-1).size();int[] dp = new int[n];dp[0] = triangle.get(0).get(0);for(int i=1;i<m;i++){int len = triangle.get(i).size();dp[i] = dp[i-1] + triangle.get(i).get(i);for(int j=i-1;j>0;j--){dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-1])+triangle.get(i).get(j);}dp[0] += triangle.get(i).get(0);}int min = dp[0];for(int j=1;j<dp.length;j++){min = Math.min(min,dp[j]);}return min;}
}