1 题目理解

We have two types of tiles: a 2x1 domino shape, and an “L” tromino shape. These shapes may be rotated.

XX <- domino

XX <- “L” tromino
X
Given N, how many ways are there to tile a 2 x N board? Return your answer modulo 10^9 + 7.

(In a tiling, every square must be covered by a tile. Two tilings are different if and only if there are two 4-directionally adjacent cells on the board such that exactly one of the tilings has both squares occupied by a tile.)

Example:
Input: 3
Output: 5
Explanation:
The five different ways are listed below, different letters indicates different tiles:
XYZ XXZ XYY XXY XYY
XYZ YYZ XZZ XYY XXY
Note:

N will be in range [1, 1000].

输入：正整数N
输出：能够组成2xN 的一个长方形，有几种方式。
规则：积木类型有两种：一种是XX，domino板；一种是
XX
X
tromino板。返回的结果应该是对$10^9+7$取余。
这个题目，从题目理解就很费解。还是看了花花酱的解释才明白怎么回事。一种积木是长方形，一种积木是L行。每次是在前一个状态上，追加这两种板的其中一种或者两种。最终拼成一个2xn的长方形。

2 动态规划

2.1只有一种板

如果只有一种domino板，有多少种方式铺满一个2xn的长方形呢？

画图之后发现dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]，是一个菲波那切数列。初始化：dp[0]=1,dp[1]=1。答案是：dp[n]。

2.2 有两种板

如果有两种版，domino板和tromino板。
在处理第i步的时候，对于前i-1形成的图像可能分成三种情况。
一种情况是前i-1步以后，第i-1列，上下两行都有板。

一种情况是前i-1步以后，第i-1列，上面一行有板。（看灰色部分）

一种情况是前i-1步以后，第i-1列，下面一行有板。（看灰色部分）

我们定义数组in[N+1][3] dp。dp[i][0]表示第i列，上下行都有板。dp[i][1]表示第i列，上面行有板。dp[i][2]表示第i列，下面行有板。

那么分析要到达dp[i][0]有哪些可能性，或者说从哪些状态能到达dp[i][0]。

如图所示，第一个需要一块domino板，第二个需要2块domino板，第3个需要一块tromino板，第4个需要一块tromino板。

所以递归方程为：dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-2][0] + dp[i-1][1] + dp[i-1][2]

接着分析要到达dp[i][1]有哪些可能性，或者说从哪些状态能到达dp[i][1]。

递归方程：dp[i][1] = dp[i-2][0] + dp[i-1][2]

最后分析要到达dp[i][2]有哪些可能性，或者说从哪些状态能到达dp[i][2]。

递归方程：dp[i][2] = dp[i-2][0] + dp[i-1][1]

编码解决

class Solution {public int numTilings(int N) {long[][] dp = new long[N+1][3];dp[0][0] = dp[1][0] = 1;int kMod = 1000000007;for(int i=2;i<=N;i++){dp[i][0] = (dp[i-1][0] + dp[i-2][0] + dp[i-1][1] + dp[i-1][2])%kMod;dp[i][1] = (dp[i-2][0] + dp[i-1][2])%kMod;dp[i][2] = (dp[i-2][0] + dp[i-1][1])%kMod;}return (int)dp[N][0];}
}

时间复杂度O(n)