《概率论与数理统计》作业
一、填空题
1．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为　　　.若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率及中它，至少需 ＿＿＿门高射炮.
2．设在[0，1]上服从均匀分布，则的概率分布函数F(x)= ＿＿＿,P(≤2)= ＿＿＿.
3．设母体，为来自的一个容量为4的样本，则样本均值＿＿＿，＿＿＿,的概率密度为＿＿＿.
4. 将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为＿＿＿.
5． 两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_______, 第一个邮筒只有一封信的概率为_________.
6． 一批产品的废品率为0.2, 每次抽取1个, 观察后放回去, 下次再任取1个, 共取3次, 则3次中恰有两次取到废品的概率为_________.
7．设ξ具有概率密度，又，则a=　　,b=　　　.
8．设ξ与η相互独立，ξ～N(0,1)，η～N(1,2)，令ζ=ξ＋2η，则Eζ=＿＿＿,Dζ=＿＿＿, ζ的概率密度函数为＿＿＿.
9．已知，P(A)=0.1,P(B)=0.5,则P(AB)= ＿＿＿,P(A+B)= ＿＿＿, ＿＿＿,P(A|B)= ＿＿＿，＿＿＿.
10．设，则使得成立的＿＿＿.
11．已知，，则 ＿＿＿.
12. 小概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要 ．
13. 相关系数的取值范围是 ．
14. 设总体，已知，为来自的一个样本，如检验（常数），则在成立条件下，检验统计量服从 分布．
15. 设总体的概率分布列为为来自的一个样本，则 ．
16. 设的密度函数为，则 ．
17. 设的密度函数为， 则的边沿密 ．
18. ．
19. 若，则 ．
20. 公交车每5分钟发一辆，则乘客等车时间不超过3分钟的概率为 ．
21. 为密度函数，则 ．
22. 两随机变量与的方差分别为25及36，相关系数为0.4，则 .
23. 设，，且与相互独立，则统计量 ．
二、选择题
1．若事件A、B为互逆事件，则（ ）
A. 0 B. . 1 D.
2．在四次重复贝努里试验中，事件A至少发生一次的概率为80/81，则A在每次试验中发生的概率p为（ ）
A. B. C. D. 1－
3．若两个随机变量和的相关系数，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. D. 和相互独立
4． 设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生一个的事件应表示为（ ）
A. ABC B. A＋B＋C C. D.
5． 每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第n次才取得次成功的概率为（ ）.
A. B. C. D.
6． 设（ξ,η）具有概率密度函数，
则A=( )
B. . 1 D. 2
7． 设，且μ=0，，令，则Dη=( )(α、β为常数)
A. B. C. ④
8． 已知ξ的概率密度函数为f(x),则（ ）
A.0≤f(x)≤1 B.P(ξ=x)=f(x) C. D.P(ξ=x)≤f(x)≤1
9． 若母体ξ的方差为，则的无偏估计为（ ）
A. B. C. D.S
10． 设A，B为两事件，，则不能推出结论（ ）
A. B.
C. D.
11. 若事件A、B互不相容，则
A．0.5 B．．1 D．0.25
12. 设事件A、B相互独立，已知，则
A． B． C． D．
13. 设随机变量的概率密度函数为，则
A．0.875 B． C． D．
14. 设为连续型随机变量的概率密度，为的分布函数，则下列正确的是
A． B． C． D．
15. 设的概率密度为，则C =
A． 1 B．．0.25 D．2
16. 设随机变量的概率密度函数为 ， 则
A． B． C． D．
17. 设A、B、C为三个事件，则A、B、C恰有两个发生的事件应表示为
A. B.
C. D.
18. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为
A． B． C． D．
19. 设记则下列正确的是
A． B． C． D．
20. 设的概率密度为 ， 则A =
A． B．． D．2
21. 已知连续型随机变量的概率密度为，为的分布函数，则下列正确的是
A． B．
C． D．
22. 设随机变量的概率密度函数为，如果（ ），恒有．
A． B． C． D．
三、计算题
1．如果在1500件产品中有1000件不合格品，如从中任抽150件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中有放回抽取150次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.
2． 如果是n个相互独立、同分布的随机变量，，.对于，写出所满足的切贝晓夫不等式，并估计.
3．在密度函数中求参数 的矩估计和极大似然估计.
4． 已知随机变量ξ～N(0，1)，求
(1) 的概率密度；
(2) 的概率密度.
5． 全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令ξ为3人中学过日语的人数，求
(1) 3人中至少有1人学过日语的概率；
(2) ξ的概率分布列及Eξ.
6． 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为，（θ>0）
试求参数θ的矩估计和极大似然估计.
7．一个盒子中共有10个球，其中有5个白球，5个黑球，从中不放回地抽两次，每次抽一个球，求
两次都抽到白球的概率；
第二次才抽到白球的概率；
第二次抽到白球的概率.
8．已知ξ～N(0，1)，求
（1）的概率密度；
（2）的概率密度.
9．设总体X～N(μ,1), 为来自X的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计.
10． 设母体具有指数分布，密度函数为
（），
试求参数的矩估计和极大似然估计.
11. 袋子中有5件某类产品，其中正品3件，次品2件，现从中任意抽取2件，求2件中至少有1件是正品的概率
12. 一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为0.3，有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为0.4．如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率.
13. 有3人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入1至5层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率.
14. 某地区高考数学成绩服从正态分布，某考生数学成绩为96分，问比他成绩低的考生占多少？（。若该考生个人估分成绩为90分，问比他成绩低的考生占多少？
15. 的密度函数为 ，求.
16. 将一部五卷文集任意排列到书架上，问卷号从左向右或从右向左恰好为1、2、3、4、5的顺序的概率等于多少？
17. 有朋自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车迟到的概率分别是，而乘飞机来则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率为多少？
18. 已知 为密度函数，求的值.
19. 已知某地区5000名学生的数学统考成绩的正态分布，求50分至80分之间的学生人数.（
20. 已知随机变量的密度函数为，求方程有实根的概率.
四、证明题
1．设总体～N(0，1)，样本来自总体，若使统计量服从分布，试证：
2．随机变量是另一个随机变量的函数，并且（），若存在，求证对于任何实数都有.
3．设的分布列为：，，，试证：若为相互独立的随机变量序列，则服从大数定律.
4．设总体，样本来自总体，试证：是的无偏估计.