正题

题目链接:$\text{https://www.luogu.org/problemnew/show/P4719}$

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题目大意

每次修改一个点权，求最大权独立集。

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解题思路

首先考虑普通$dp$，设$f_{i,0/1}$表示$i$的子树，是否选择自己这个点的最大权独立集。
然后十分显然fx,0=∑max{fy,0,fy,1}f_{x,0}=\sum max\{f_{y,0},f_{y,1}\}fx,0​=∑max{fy,0​,fy,1​}
$$f_{x,1}=\sum f_{y,0}$$

我们考虑将其转换矩阵乘法，首先扩展为Ci,j=max{Ai,k+Bk,j}C_{i,j}=max\{A_{i,k}+B_{k,j}\}Ci,j​=max{Ai,k​+Bk,j​}
然后考虑转换上面的公式。
然后设$g_{i,0/1}$表示在$i$的子树中，不在$i$的重链上的子孙，是否选择自己这个点的最大权独立集
那么有
gi,0=fi,0+max{gi+1,0,gi+1,1}g_{i,0}=f_{i,0}+max\{g_{i+1,0},g_{i+1,1}\}gi,0​=fi,0​+max{gi+1,0​,gi+1,1​}
$$g_{i,1}=f_{i,1}+g_{i+1,0}$$
然后构造矩阵
$$\left[\begin{array}{cc}{f}_{i,0}& f_{i,0}\\ f_{i,1}& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{g}_{i+1,0}\\ g_{i+1,1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{g}_{i,0}\\ g_{i,1}\end{array}\right]$$

然后每次修改时我们用矩阵$val(i)$表示$i$的单独矩阵，然后我们修改后带回到线段树中，然后重新计算出新的$val(i)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll Size=2,N=1e5+100;
ll n,m,tot,cnt,ls[N],fa[N],v[N],f[N][2];
ll seg[N],id[N],top[N],siz[N],son[N],ed[N];
struct matrix{ll a[Size][Size];
}val[N];
matrix operator*(matrix a,matrix b)
{matrix c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(ll i=0;i<Size;i++)for(ll j=0;j<Size;j++)for(ll k=0;k<Size;k++)c.a[i][j]=max(c.a[i][j],a.a[i][k]+b.a[k][j]);return c;
}
struct Tree_node{ll l,r;matrix g;
};
struct Edge_node{ll to,next;
}a[N<<1];
struct Line_cut_tree{Tree_node t[N<<2];void Build(ll x,ll l,ll r){t[x].l=l;t[x].r=r;if(l==r){ll u=seg[l],g0=0,g1=v[seg[l]];for(ll i=ls[u];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa[u]||y==son[u]) continue;g0+=max(f[y][0],f[y][1]),g1+=f[y][0];}t[x].g.a[0][0]=t[x].g.a[0][1]=g0;t[x].g.a[1][0]=g1;val[l]=t[x].g;return;}ll mid=(l+r)/2;Build(x*2,l,mid);Build(x*2+1,mid+1,r);t[x].g=t[x*2].g*t[x*2+1].g;}matrix Query(ll x,ll l,ll r){if(t[x].l==l&&t[x].r==r)return t[x].g;if(t[x*2].r>=r) return Query(x*2,l,r);if(t[x*2+1].l<=l) return Query(x*2+1,l,r);return Query(x*2,l,t[x*2].r)*Query(x*2+1,t[x*2+1].l,r);}void Change(ll x,ll z){if(t[x].l==t[x].r){t[x].g=val[t[x].l];return;}if(t[x*2].r>=z) Change(x*2,z);else Change(x*2+1,z);t[x].g=t[x*2].g*t[x*2+1].g;}
}Tree;
void addl(ll x,ll y)
{a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;
}
void dfs1(ll x,ll Fa)
{siz[x]++;fa[x]=Fa;f[x][1]=max(v[x],0ll);for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==Fa)continue;dfs1(y,x);f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);f[x][1]+=f[y][0];siz[x]+=siz[y];if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;}
}
void dfs2(ll x,ll fa)
{id[x]=++cnt;seg[cnt]=x;if(son[x]){top[son[x]]=top[x];dfs2(son[x],x);}else ed[top[x]]=cnt;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa||y==son[x]) continue;top[y]=y;dfs2(y,x);}
}
matrix ask(ll x)
{return Tree.Query(1,id[top[x]],ed[top[x]]);}
void path_change(ll x,ll w)
{val[id[x]].a[1][0]+=w-v[x];v[x]=w;matrix old,news;while(x){old=ask(top[x]);Tree.Change(1,id[x]);news=ask(top[x]);x=fa[top[x]];val[id[x]].a[0][0]+=max(news.a[0][0],news.a[1][0])-max(old.a[0][0],old.a[1][0]);val[id[x]].a[0][1]=val[id[x]].a[0][0];val[id[x]].a[1][0]+=news.a[0][0]-old.a[0][0];}
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&v[i]);for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}top[1]=1;dfs1(1,0);dfs2(1,0);Tree.Build(1,1,n);matrix ans;while(m--){ll x,w;scanf("%lld%lld",&x,&w);path_change(x,w);ans=ask(1);printf("%lld\n",max(ans.a[0][0],ans.a[1][0]));}
}