正题

题目链接:https://www.luogu.org/problem/CF451E

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题目大意

长度为$n$的序列$a_i$，有如下要求

1. $a_i\in [0...x_i]$
2. ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=s$

求序列个数。

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解题思路

考虑容斥，这样我们就可以将条件转换为$a_i>x_i$，然后我们可以让$n-x_i-1$这样就将条件变为了$a_i\ge 0$，然后可以用组合数插板法计算，也就是答案为
$$\sum _S{C}_{s-{\sum }_{x_i\in S}(x_i+1)-1}^{n-1}\ast (-1{)}^{|S|}$$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll XJQ=1e9+7;
ll n,s,inv[50],x[50],ans;
bool v[50];
ll power(ll x,ll b)
{ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{if(n<0||m<0||n<m)return 0;if(n%XJQ==0||m==0)return 1;ll x=1;for(ll i=n-m+1;i<=n;i++)x=x*(i%XJQ)%XJQ;return x*inv[m]%XJQ;
}
void dfs(ll dep,ll _,bool flag)
{ll _n=s+n;for(ll i=1;i<=n;i++)if(v[i]) _n-=x[i]+1;if(flag)ans=((ans+_*C(_n-1,n-1))%XJQ+XJQ)%XJQ;if(dep>n) return;v[dep]=1;dfs(dep+1,-_,1);v[dep]=0;dfs(dep+1,_,0);
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&s);inv[1]=1;for(ll i=2;i<=20;i++)inv[i]=inv[i-1]*power(i,XJQ-2)%XJQ;for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&x[i]);ans=C(s+n-1,n-1);dfs(1,1,0);printf("%lld",ans);
}