正题

题目链接:
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2111
https://www.luogu.org/problem/P2606

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题目大意

长为$n$的序列$P$，然后要求$P_i>P_{\lfloor \frac{i}{2}\rfloor }$。求排列个数。

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解题思路

若用$i$连向$\lfloor \frac{i}{2}\rfloor$，那么这是一棵以$1$为根的数，然后考虑树形$dp$。

我们发现每棵子树满足子节点小于父节点的性质且两棵不包含的子树互不关联，所以我们只需要分配编号即可

也就是$$f_i=f_{2\ast i}\ast f_{2\ast i+1}\ast C_{siz{e}_i-1}^{siz{e}_{2\ast i}}$$

然后答案就是$f_1$。因为在其中$f_i$可能会大于$p$，所以我们用$Lucas$定理

时间复杂度O(nlog⁡n+min{n,p})O(n\log n+min\{n,p\})O(nlogn+min{n,p})

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
ll T,n,p,a[N],f[2*N],s[2*N];
ll power(ll x,ll b,ll p)
{ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
ll C(ll n,ll m,ll p)
{if(m>n) return 0ll;return a[n]*power(a[m],p-2,p)%p*power(a[n-m],p-2,p)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{if(!m) return 1ll;return lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&p);a[0]=1;for(ll i=1;i<=min(n,p);i++)a[i]=a[i-1]*i%p;for(ll i=n;i>=1;i--){s[i]=1+s[i*2]+s[i*2+1];if(i*2+1<=n)f[i]=f[i*2]*f[i*2+1]%p*lucas(s[i]-1,s[i*2],p)%p;else if(i*2<=n) f[i]=f[i*2];else f[i]=1; }printf("%lld",f[1]);return 0;
}