水题矩阵快速幂

Description

函数 $f : Z^{+} \to Z$ 。已知 $f (1) ， f (2)$ 的值，且对于任意 $x > 1$ ，有 $f (x + 1) = f (x) + f (x - 1) + sin (\frac{π x}{2})$ 。

求 $f (n)$ 的值。

Input

多组数据。（数据组数 $T \leq 100$ ）

每组数据包含 $3$ 个不超过 $10^{9}$ 的正整数，分别代表 $f (1) ， f (2)$ 和 $n$ 的值。

Output

输出 $f (n) mod (10^{9} + 7)$ 。每组输出末尾有换行符。

Sample Input

1 2 3
1 2 5

Sample Output

3
7

题解：

把 $f (x + 1) = f (x) + f (x - 1) + sin (\frac{π x}{2})$ 看成是由斐波那契数列和sin $(\frac{π x}{2})共同组成的函数$

发现两部分都是含有fib数的函数，得到f(x+1)关于fib数的函数表达式，然后利用矩阵快速幂的方法求fib数

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD = 1e9+7;
int d[4]={0,1,0,-1};
int f1,f2,n;
int fast_mod(int n)    // 求 (t^n)%MOD 
{int t[2][2] = {1, 1, 1, 0};int ans[2][2] = {1, 0, 0, 1};  // 初始化为单位矩阵int tmp[2][2];    //自始至终都作为矩阵乘法中的中间变量 while(n){if(n & 1)  //实现 ans *= t; 其中要先把 ans赋值给 tmp，然后用 ans = tmp * t {for(int i = 0; i < 2; ++i)for(int j = 0; j < 2; ++j)tmp[i][j] = ans[i][j]; ans[0][0] = ans[1][1] = ans[0][1] = ans[1][0] = 0;  // 注意这里要都赋值成 0 for(int i = 0; i < 2; ++i)    //  矩阵乘法 {for(int j = 0; j < 2; ++j){for(int k = 0; k < 2; ++k)ans[i][j] = (ans[i][j] + tmp[i][k] * t[k][j]) % MOD;}}}//  下边要实现  t *= t 的操作，同样要先将t赋值给中间变量  tmp ，t清零，之后 t = tmp* tmp for(int i = 0; i < 2; ++i)for(int j = 0; j < 2; ++j)tmp[i][j] = t[i][j];t[0][0] = t[1][1] = 0;t[0][1] = t[1][0] = 0;for(int i = 0; i < 2; ++i){for(int j = 0; j < 2; ++j){for(int k = 0; k < 2; ++k)t[i][j] = (t[i][j] + tmp[i][k] * tmp[k][j]) % MOD;}}n >>= 1;}return ans[0][1];
}
int dfs(int x)
{if(x < 3) return 0;if(x == 3){return d[2];}else if(x == 4){return d[3]+d[2];}else{return dfs(x-1)+dfs(x-2) + d[(x-1)%4];}
}
main()
{while(~scanf("%lld%lld%lld", &f1,&f2,&n)){    //printf("%d\n", fast_mod(n));f1 = f1%MOD;f2 = f2%MOD;int ans = 0;if( n >= 6){ans = ((fast_mod(n-1) * f2))%MOD + (fast_mod(n-2)*f1)%MOD;ans %= MOD;int j = n-6;if(j%2 == 0){ans = (ans - (fast_mod(j/2+2)*fast_mod(j/2+2))%MOD + MOD)%MOD;}else{ans = (ans - (fast_mod(j/2+2)*fast_mod(j/2+3))%MOD + MOD)%MOD;}}else if (n >= 3){ans = ((fast_mod(n-1) * f2))%MOD + (fast_mod(n-2)*f1)%MOD;ans = (ans + dfs(n-1) + MOD)%MOD;}else if(n == 2){ans = f2;}else{ans = f1;}cout<<ans<<endl;}}