正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3327

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题目大意

$T$组询问给出$n,m$，$d(x)$表示$x$的约数个数，求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(i\ast j)$$

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解题思路

对于$i$和$j$的两个约数$a,b$如果他们互质，那么$a\ast b$是$i\ast j$的约数，所以有
$$d(i\ast j)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)==1]$$
那么答案就是求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)==1]$$
$$\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{y}\rfloor [gcd(x,y)==1]$$
我们定义
$$f(x)=\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{y}\rfloor [gcd(x,y)==x]$$
那么有$$F(x)=\sum _{x|d}f(d)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\lfloor \frac{n}{ix}\rfloor \lfloor \frac{m}{iy}\rfloor =\sum _{i=1}^{\frac{n}{x}}\lfloor \frac{n}{ix}\rfloor \ast \sum _{j=1}^{\frac{m}{x}}\lfloor \frac{m}{jx}\rfloor$$
考虑如何快速计算$F(x)$，计算出$w(x)={\sum }_{i=1}^x\lfloor \frac{x}{i}\rfloor$，不难发现对于给出的$n,m$有$F(x)=w(\frac{n}{x})w(\frac{m}{x})$。

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$code$

#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e4+1;
ll T,n,m,ans,cnt;
ll pri[N],s[N],mu[N];
bool vis[N];
void prime(){mu[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!vis[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;for(ll j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<N;j++){vis[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;mu[i*pri[j]]=-mu[i];}}for(ll i=1;i<N;i++)mu[i]+=mu[i-1];for(ll i=1;i<N;i++){for(ll l=1,r;l<=i;l=r+1){r=i/(i/l); s[i]+=(r-l+1)*(i/l);}}return;
}
int main()
{scanf("%lld",&T);prime();while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=s[n/l]*s[m/l]*(mu[r]-mu[l-1]);}printf("%lld\n",ans);}
}