图像处理作业第三次

1.根据书中对傅立叶变换的定义，证明课本165页上有关傅立叶变换的平移性质。

$F(u-u_0,v-v_0)$

$={\sum }_{x=0}^{M-1}{\sum }_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi ((u-u_0)x/M+(v-v_0)y/N)}$

$={\sum }_{x=0}^{M-1}{\sum }_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{j2\pi (u_{0}x/M+v_{0}y/N)}{e}^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}$

$=DFT(f(x,y)e^{j2\pi (u_{0}x/M+v_{0}y/N)})$

$f(x-x_0,y-y_0)$

$={\sum }_{u=0}^{M-1}{\sum }_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi ((x-x_0)u/M+(y-y_0)v/N)}$

$={\sum }_{u=0}^{M-1}{\sum }_{v=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (x{u}_0/M+y{v}_0/N)}{e}^{j2\pi (xu/M+yv/N)}$

$=IDFT(F(u,v)e^{j2\pi (x{u}_0/M+y{v}_0/N)})$

2. 课本171页上习题4.9。

$f(x,y)\to f(x,y)(-1{)}^{(x+y)}$

则根据如下公式，可得

$F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2})=\sum \sum f(x,y)(-1{)}^{(x+y)}{e}^{-j2\pi (xu/M+yv/N)}$

$\to F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2})=DFT(f(x,y)(-1{)}^{(x+y)})....(a)$

进行共轭变换，可得

$F^{\ast }(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2})=F(\frac{M}{2}-u,\frac{N}{2}-v)$

根据比例性 ，那么$(a)$式可以写成：

$F(\frac{M}{2}-u,\frac{N}{2}-v)=DFT(f(-x,-y)(-1{)}^{(x+y)})$

最后每个像素乘以$(-1{)}^{(x+y)}$得到

$f(-x,-y)=f(M-x,N-y)$

由此,关于中心对称。

3.证明高斯的傅立叶变换还是高斯函数。

已知：

$e^{-\pi (x^2+y^2)}=IDFT(e^{-\pi (u^2+v^2)})$

根据比例性

令$u\leftarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }u,v\leftarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }v$

那么比例系数 $a=b=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

$f(ax,by)=\frac{1}{|ab|}F(u/a,v/b)$

即有

$F(u,v)=IDFT(A{e}^{-(u^2+v^2)/2{\sigma }^2})=A2\pi {\sigma }^2{e}^{-\pi 2{\sigma }^2(x^2+y^2)}$