正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6855

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题目大意

$n\ast m$的网格，每个格子有一个数，可以选择一个位置变为$0$。要求最小化最大权值和路径。

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解题思路

考虑枚举哪个位置变为$0$，一个位置变为$0$后我们将路径分为两种路径，一种是经过该点的路径，一种是不经过该点的路径。

我们预处理出$f_{i,j}$表示$(1,1)$走到$(i,j)$的最大权和，$g_{i,j}$表示$(i,j)$走到$(n,m)$的最大权和。然后我们发现如果不走$(x,y)$这个位置，那么一会走$(i,y)->(i,y+1)$其中$i<x$或者$(x,j)->(x+1,j)$其中$j<y$。用$g$和$f$计算这些走法的最大权值和即可。

时间复杂度$O(nm)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,XJQ=998244353;
ll n,m,ans,a[N][N],f[N][N],g[N][N],ar[N][N],br[N][N];
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=m;j++){scanf("%lld",&a[i][j]);f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])+a[i][j];}for(ll i=n;i>=1;i--)for(ll j=m;j>=1;j--){g[i][j]=max(g[i+1][j],g[i][j+1])+a[i][j];ar[i][j]=f[i][j]+g[i+1][j];br[i][j]=f[i][j]+g[i][j+1];}ans=1e18;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=m;j++){ll z=max(f[i][j]+g[i][j]-2*a[i][j],max(ar[i][j-1],br[i-1][j]));ans=min(ans,z);if(j!=1)ar[i][j]=max(ar[i][j],ar[i][j-1]);if(i!=1)br[i][j]=max(br[i][j],br[i-1][j]);}printf("%lld",ans);
}