正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5075

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题目大意

$m$个糖分给$A$个小朋友，得到$x$个糖的小朋友可以贡献$F(x)=O{x}^2+Sx+U$的贡献值。要求没有得到糖的小朋友一定是后面一段连续的序列，求所有方案的贡献值乘积之和。

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解题思路

显然如果$A>m$那么后面的小朋友一定分不到糖，那么有A=min{A,m}A=min\{A,m\}A=min{A,m}

$dp$思路

设$f_{i,j}$表示$i$个小朋友分了$j$个糖的贡献值之和
那么有$$f_{i,j}=\sum _{k=1}^j{f}_{i-1,j-k}\ast F(k)$$
发现这是一个卷积的形式，可以写为$f_i=f_{i-1}\ast F$，$f_n=f_0\ast F^n$
然后设$g_{i,j}={\sum }_{k=1}^i{f}_{k,j}$，那么答案就是$g_{A,m}$
然后优化转移$$g_{i,j}=\sum _{k=1}^{\frac{i}{2}}{f}_{k,j}+\sum _{k=\frac{i}{2}+1}^i{f}_{k,j}$$
$$g_{i,j}=g_{\frac{i}{2},j}+\sum _{k=1}^{\frac{i}{2}}{f}_{k,j}\ast f_{\frac{i}{2},j}$$
卷积展开${\sum }_{k=1}^{\frac{i}{2}}{f}_{k,j}\ast f_{\frac{i}{2},j}$
$$g_{i,j}=g_{\frac{i}{2},j}+(\sum _{k=1}^{m-1}{f}_{k,j})\ast g_{\frac{i}{2},j}$$
$$g_i=g_{\frac{i}{2}}+g_{\frac{i}{2}}\ast f_{\frac{i}{2}}$$
然后$FFT$优化即可，时间复杂度$O(m{\log }^{2}m)$

生成函数思路

设$F(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }f(k)x^k$
如果有$k$个人拿到糖那么就是$(F(x)-1{)}^k$
然后答案就是$$\sum _{k=0}^A(F(x)-1{)}^k$$
$$\Rightarrow \frac{1-(F(x)-1{)}^{A+1}}{2-F(x)}$$
然后上多项式求逆和快速幂就好了
时间复杂度$O(m{\log }^{2}m)$

当然我是$fw$所以写的是$dp$的代码

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define Pi acos(-1)
using namespace std;
const int N=40000;
struct complex{double x,y;complex(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;}
}ca[N],cb[N];
int n,m,P,A,O,S,U,r[N],tmp[N],f[N],g[N],pre[N]; 
complex operator+(complex a,complex b)
{return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator-(complex a,complex b)
{return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator*(complex a,complex b)
{return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
void fft(complex *f,int op){for(int i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(int p=2;p<=n;p<<=1){int len=p>>1;complex tmp(cos(Pi/len),sin(Pi/len)*op);for(int k=0;k<n;k+=p){complex buf(1,0);for(int i=k;i<k+len;i++){complex tt=buf*f[i+len];f[i+len]=f[i]-tt;f[i]=f[i]+tt;buf=buf*tmp;}}}return;
}
void mul(int *a,int *b,int *c){for(int i=0;i<n;i++)ca[i]=complex(a[i],0),cb[i]=complex(b[i],0);fft(ca,1);fft(cb,1);for(int i=0;i<n;i++)ca[i]=ca[i]*cb[i];fft(ca,-1);for(int i=1;i<=m;i++)c[i]=int((double)ca[i].x/n+0.5)%P;return;
}
void power(int b){if(b==1){memcpy(f,pre,sizeof(f));memcpy(g,pre,sizeof(g));return;}power(b>>1);mul(f,g,tmp);for(int i=0;i<n;i++)(g[i]+=tmp[i])%=P;mul(f,f,f);if(b&1){mul(f,pre,f);for(int i=0;i<n;i++)(g[i]+=f[i])%=P;}return;
}
int main()
{scanf("%d%d%d%d%d%d",&m,&P,&A,&O,&S,&U);for(int i=1;i<=m;i++)pre[i]=(O*i*i%P+S*i%P+U)%P;for(n=1;n<=m*2;n<<=1);for(int i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);power(min(A,m));printf("%d",g[m]);return 0;
}