反向传播算法(Back propagation)
目的及思想
我们现在有一堆输入，我们希望能有一个网络，使得通过这个网络的构成的映射关系满足我们的期待。也就是说，我们在解决这个问题之前先假设，这种映射可以用网络的模型来比较好的描述。为什么是网络而不是什么别的形式呢？不懂了。。
这个网络到底是个怎样的形式呢？如下图所示，\(i1,i2\)是输入，\(o1,o2\)是输出，其中\(w1...w8, b1, b2\)是这个网络中的参数。对于一个结点来说，它的所有输出都等于它的每个输入，对于对应\(w\)的加权求和带入激活函数的结果。
而现在\(w1...w8, b1, b2\)这些参数都是未知的，我们希望能通过一些方法逼近这些参数的真实结果。
我们将\(w1...w8, b1, b2\)这些参数，考虑成一个高维空间中的点，与三维还有二维的情况类似的，我们贪心的朝着周围都走一小步，找到那个能获得相对最优解的方向，并接受这次移动，这是经典的梯度下降的思想。于是，我们引入了损失函数，使用它来描述这个点的优秀程度。\(w1...w8, b1, b2\)是这个函数的输入，通过调整这些输入，我们希望能获得一个使得损失函数获得最值的位置，然而实际上，我们获得的显然是一个极值，并不一定是最值，除非能证明这个损失函数关于这些参数是凸的。但是，作为一个比较优秀的解，这样做还是有价值的。
后半部分的思想过程顺理成章，感觉整套方法最有价值和启发意义的就是这个网络模型。
具体算法
- 设定输入量\(i_1,i_2...i_n\)，以及\(w_1...w_{n*n*2}, b_1, b_2\)，如果可能尽量设定在离真实解较近的位置，最好在一个坑里？
- 激活函数选取经典的sigmoid函数 \(f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\)
- 损失函数取 \(L(w_1...w_{n*n*2}, b_1, b_2) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (target_j - o_j)^2\), 我们定义\(i_j\)对应的目标输出为\(target_j\)
- 对于当前网络带入\(i_1,i_2...i_n\)，求出对应的\(o_1,o_2,...,o_n\). 这个过程显然就是在一张dag上按照拓扑序递推更它的后继节点即可，每到一个点计算它的激活函数的输出，然后更新它的后继节点
- 更新完之后，我们就获得了\(o_1,o_2,...,o_n\). 现在需要求解 L 关于这每个参数的在当前输入情况下的偏导。容易利用链式法则解决（懒得写了）这里有超详细推导
一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation - 返回操作 4，直到获得令人满意的精度
代码
c++写了个实现。太丑了不发了。。最麻烦的部分就是链式求导算梯度的几个式子推导，有了式子之后还是挺好写的。非常有意思的是，一开始的写法，没有加入参数 b1，b2，因此迭代 500000 次左右才能使L达到 1e-22 的精度，但是当我们，补上 b1 和 b2 时，只用迭代 200000 次即可达到，一个式子形式的设计或者说网络结构的设计，对于算法的效果影响还是很巨大的。
