正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2485

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题目大意

给出$a,b,p$要求一下一种

1. $a^b\%p$的值
2. $ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$的最小非负整数解
3. $a^x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$的最小非负整数解

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解题思路

一道缝合题

第一个直接套快速幂就好了，时间复杂度$O(\log n)$。

第二个是$exgcd$，考虑如何求$ax+by=c$

根据裴蜀定理我们对于方程$ax+by=gcd(a,b)$一定有解，考虑求出这组解。

$$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=gcd(b,a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )$$
$$ax+by=b{x}^{\prime }+(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{\prime }$$
$$ax+by=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime })$$
故有$x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime }$
求$gcd$的时候顺便求解就好了。

那得到这组$x_0,y_0$以后，如果$c$是$gcd(a,b)$的倍数那么才有解，而这个方程的通解就是$$\{\begin{array}{c}x=x_0\ast \frac{c}{d}+k\ast d\ast b\\ y=y_0\ast \frac{c}{d}-k\ast d\ast a\end{array}$$
然后拿最小的那组就好了，时间复杂度$O(\log n)$

第三个是$BSGS$

定义$t=\sqrt{p}$那么$a^x$就可以表示为$a^{i\ast t-j}$
然后$$a^{i\ast t-j}\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
$$a^{i\ast t}\equiv b\ast a^j\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

因为$b\ast a^j$最多只有$t$种，我们用$map$存下来

然后枚举$a^{i\ast t}$的值与$map$中的对应即可。因为有$map$所以时间复杂度为$O(\sqrt{n}\log n)$，用$hash$理论可以优化到$O(\sqrt{n})$

需要注意的是$a^t\%p=0$时，当且仅当$b=1$时有解为$0$。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
ll T,K,a,b,p;
map<ll,ll> mp;
void work1(ll a,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}printf("%lld\n",ans);return;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;return a;}ll d=exgcd(b,a%b,x,y);ll z=x;x=y;y=z-a/b*y;return d;
}
void work2(ll a,ll b,ll p){ll x,y;ll d=exgcd(a,p,x,y);if(b%d){printf("Orz, I cannot find x!\n");return;}x*=b/d;y*=b/d;printf("%lld\n",(x%(d*p)+d*p)%(d*p));
}
ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
void work3(ll a,ll b,ll p){mp.clear();ll t=(int)sqrt(p)+1;for(ll i=0;i<t;i++)mp[b]=i,b=b*a%p;a=power(a,t,p);if(a==0&&b==1){printf("1\n");return;}else if(a==0) {printf("Orz, I cannot find x!\n");return;}ll tmp=1,ans=1e18;for(ll i=0;i<=t;i++){ll j=(mp.find(tmp)!=mp.end())?mp[tmp]:-1;if(j>=0&&i*t-j>=0)ans=min(ans,i*t-j);tmp=tmp*a%p;}if(ans==1e18)printf("Orz, I cannot find x!\n");else printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&T,&K);while(T--){scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);if(K==1)work1(a%p,b,p);if(K==2)work2(a%p,b%p,p);if(K==3)work3(a%p,b%p,p);}
}