正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4492

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题目大意

开始有一个节点，第$i$次在一个儿子不超过$2$的节点下面长出一个新儿子编号为$i$。求所有方案下树的路径长度和。

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解题思路

考虑计算每条边的贡献，设$g_i$表示大小为$i$的树的形态个数，$f_i$表示所有大小为$i$的树的路径长度和。然后题目给出的要求就是子节点编号比父节点大。

那么$g$有转移$$g_{i+1}=\sum _{j=0}^i{g}_j{g}_{i-j}{C}_i^j$$
$f$的转移复杂一点，枚举子树大小$j$和$i-j$，那么子树$j$自己的贡献就是$g_j\ast j\ast (n-j)$，然后要乘上$g_{i-j}$表示每种左子树形态对应的树的形态个数。右边$i-j$同理，就有转移方程$$f_{i+1}=\sum _{j=0}^i(g_i{g}_j(j\ast (n-j)+(i-j)\ast (n-i+j))+f_j\ast g_{i-j}+f_{i-j}\ast g_j)\ast C_i^j$$

时间复杂度$O(n^2)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100;
ll n,p,f[N],g[N],c[N][N];
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&p);g[0]=c[0][0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=0;j<=i;j++)c[i][j]=((j?c[i-1][j-1]:0)+c[i-1][j])%p;for(ll i=0;i<n;i++){for(ll j=0;j<=i;j++){(g[i+1]+=g[j]*g[i-j]%p*c[i][j])%=p;(f[i+1]+=(((i-j)*(n-i+j)%p+j*(n-j)%p)*g[j]%p*g[i-j]%p+f[j]*g[i-j]%p+f[i-j]*g[j]%p)%p*c[i][j]%p)%=p;}}printf("%lld\n",f[n]);return 0;
}