正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4590

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题目大意

给出一个长度为$m$的字符串$s$。
对于每个$k\in [0,m]$求有多少个长度为$n$的字符串满足与$s$的最长公共子序列长度为$k$且不包含$NOI$这一个子串。
可用字符集是{N,O,I}\{N,O,I\}{N,O,I}

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解题思路

显然这个$NOI$的限制是很无聊的，先不管。

然后就是求最长公共子序列恰好为$k$，之前翻资料的时候看到过这题，然后$m$又只有$15$，所以可以直接$dp$套$dp$。

先考虑正常$dp$求最长公共子序列，就是设$g_{i,j}$表示第一个串匹配到$i$，第二个串匹配到$j$时的长度。那么显然对于一个$i$来说是可以对应多个$j$的。
然后我们要在转移$dp$的自动机上对于$i$维护每个$g_{i,j}$？

虽然$m$很小但是这个状态还是很多，要加点优化。挖掘一下$g$数组的性质发现其实有$g_{i,j-1}\le g_{i,j}\le g_{i,j-1}+1$。所以可以状压一下，用$1$表示这里加了$1$，$0$表示没有加一就可以表示出所有的状态了。

然后先预处理出每个状态加某个字符之后会转移到哪个状态$nx{t}_{s,c}$，然后设$f_{i,s}$表示现在已经有$i$个字符，$dp$数组状态为$j$时的方案数，然后转移就好了。

之后$NOI$那个限制多开一维来维护就好了，要滚动不然会炸。

时间复杂度$O(2^{m}n)$，然后因为要判$NOI$所以常数比较大。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1100,M=16,P=1e9+7;
const int d[3][3]={{1,0,0},{1,2,0},{1,0,3}};
int n,m,f[3][1<<M][3] ,ans[M];
int a[M],g[1<<M],h[1<<M],nxt[1<<M][3];
char s[M];
int ct(int x){int ans=0;while(x)x-=(x&-x),ans++;return ans;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);scanf("%s",s+1);for(int i=1;i<=m;i++){if(s[i]=='O')a[i]=1;if(s[i]=='I')a[i]=2;}int MS=(1<<m);for(int s=0;s<MS;s++){for(int i=1;i<=m;i++)g[i]=g[i-1]+((s>>i-1)&1);for(int c=0;c<3;c++){for(int i=1;i<=m;i++){h[i]=max(h[i-1],g[i]);if(a[i]==c)h[i]=max(h[i],g[i-1]+1);if(h[i]>h[i-1])nxt[s][c]|=(1<<i-1);}}}f[0][0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){memset(f[i&1],0,sizeof(f[i&1]));for(int s=0;s<MS;s++){for(int t=0;t<3;t++){for(int c=0;c<3;c++){if(t==2&&c==2)continue;int z=d[t][c];(f[i&1][nxt[s][c]][z]+=f[~i&1][s][t])%=P;}}}}for(int s=0;s<MS;s++)for(int t=0;t<3;t++)(ans[ct(s)]+=f[n&1][s][t])%=P;for(int i=0;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);return 0;
}