树型dp

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总试题链接

例题

NC15033 小G有一个大树

题解链接
树的重心定义为：树中的一个点,删掉该点，使剩下的树所构成的森林中最大的子树节点数最少。
dp[i]=max(n-tot[i],max(tot[k]))

NC511788 没有上司的舞会(最大独立集)

题解链接
dp[i][0]不选i点时，i点及其子树能选出的最大快乐指数
dp[i][1]表示选择i点时，i点及其子树的最大快乐值
状态转移：
dp[i][0]=∑(max dp[j][0],dp[j][1])//当i点不选时，儿子选与不选
dp[i][1]=∑dp[j][0]+Hi//选了父亲，不能选儿子
(j是i的儿子)
边界：dp[i][0]=0 dp[i][1]=hi
结果：max(dp[root][0],dp[root][1])
本质：儿子与父亲不能同时选

poj1463 NC106060 Strategic game(树的最小点覆盖)

题解链接
试题：一个树，在一个节点放兵，周围的边就被守护，守护所有的边，问最少放多少兵
确定状态：
dp[x][1]以x为根的子树全被看住且在x上放置士兵的最少所需的士兵数量
dp[x][0]以x为根的子树全被看住且在x上没有 放置士兵的最少所需的士兵数量.
确定状态方程：
dp[x][1]=1+∑min(dp[i][0],dp[i][1])//x上放了士兵，x的儿子们可放可不放
dp[x][0]=∑dp[i][1]//如果x不放士兵，x的儿子必须放
结果min(dp[root][0],dp[root][1])
i是x的儿子
相当于我们在考虑x点时，x的子节点都是被考虑完的，x能否被覆盖完全取决于自身或x的儿子

NC24953 CellPhoneNetwork（树的最小支配集）

题解链接
最少用多少个点可以覆盖掉所有其他点
确定状态：
dp[x][0]：选点i，并且以点i为根的子树都被覆盖
dp[x][1]：不选i，i被其儿子覆盖
dp[x][2]：不选点i，i被其父亲覆盖（此时儿子可选可不选）
转移方程：
dp[i][0]=1+∑min(dp[u][0],dp[u][1],dp[u][2])(u是i的儿子)
被儿子被自己被父亲覆盖

dp[i][2]=∑(dp[u][1],dp[u][0])
i被父亲覆盖，u是i的儿子，u 可选可不选，但是u肯定不会被i所覆盖

对于dp[i][1]情况，i的儿子们中必须有一个取dp[u][0]
if(i没有子节点)dp[i][1]=INF
else dp[i][1]=∑min（dp[u][0],dp[u][1]）+inc
对于inc
if(∑min（dp[u][0],dp[u][1]）中包含某个dp[u][0])inc=0
else inc=min(dp[u][0]-dp[u][1])
选与不选
图一是自然被选
图二是强制选择

以上小总结：

最小点覆盖
每个点附近周围的边
最大独立集
父亲与儿子不能同时选，选最多的点
最小支配集
每个点附近周围的点

把子树当做一个整体

NC50505 二叉苹果树

详细题解
一棵二叉苹果树，且一定分二叉， 给定需要保留的树枝数量，求最多能留住多少苹果
确定状态：
dp[u][v]以u为根的子树保留j个分支可以得到的最大苹果数量

左右儿子都在
左子树砍了

三种情况：
只保留左
dp[u][j]=dp[l][j-1]+a[j][l]
只保留右
dp[u][j]=dp[r][j-1]+a[j][r]
左子树保留x个，右子树保留j-2-x个
dp[u][j]=dp[l][x]+dp[r][j-2-x]+a[j][l]+a[j][r]
a是指每条边的苹果树数量

延伸–>多叉树情况

不断将一个子树合并到左子树里，始终处理的只有两个子树
强行当做二叉树处理

树上背包
dp[u][j]=max(dp[u][k]+dp[v][j-k-1]+w)
v是u的子节点，k∈[0,j]
w=a[u][v]//u与v之间的边权
(发现该公式类似于背包)

NC202475 树上子链（树的直径）

详细题解
每个点有点权
树的子链大小的这个子链上所有结点的权值和
在树T中找到最大的子链

树的直径：两边dfs
点权与边权转换

NC22598 Rinne Loves Edges

详细题解
题意：
n个节点m条边的无向连通图（为树，m=n-1）
选取一个点S,然后删除一些边，使得原图中所有除S之外度为1的点都不能到达S（让叶子节点和根节点不通）
删边的费用为边的权值

可以跑网络流，全局最小割
树的话，没必要

考虑x点的子树上每个叶子都与s不连通
两种情况：
把x和他的儿子断开
在x的子树上取把所有叶子节点断开
dp[x]表示x的子树上的所有叶子和根断开的最小代价
dp[x]=∑（min(dp[y],dis[x][y])）
y是x的儿子

NC210473 吉吉王国

详细题解
题目：
一棵无向树，切掉一些边，切断的边的权值不能超过m，使得叶子节点与根节点（1号）分离，要使得切断的边中最大的边权要尽可能小

最大值最小：二分
去二分最长能切的边
二分+判定
如果可以切就切断，如果x到y的边切不断（x是y的父亲节点），那就切y子树里面的节点，一直向下

习题

题目链接

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