正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4120

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题目大意

给出$n$个物品和一个容量$m$，第$i$个物品体积为$c_i$。除了第一个物品每个物品还有一个$p_i(p_i<i)$表示如果$p_i$个物品选择了$x$个，第$i$个物品选择了$y$个要求满足$x\le y\le x+d$。

$1\le n\le 50,1\le m,c_i\le 10^9,0\le d\le 10^9,1\le p<i$

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解题思路

一个简单的转换，变成一棵树之后选择就变为了一次必须选择一个子树。除了点$1$外其他最多就只能选择$d$次。

就变成了一个多重背包，但是容量和体积很大，考虑贪心。因为价值都比较小，对于足够大的情况性价比贪心是对的，所以我们可以考虑先把小的直接做背包，大的贪心选。

背包时每个物品最多选min{n,d}min\{n,d\}min{n,d}次，设$f_i$表示价值为$i$时的最小体积，然后枚举一个背包权值，剩下的贪心就好了。二进制分组或者单调队列优化多重背包都能过

时间复杂度$O(n^4\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
const ll N=51;
struct node{ll w,v,id;
}a[N];
ll n,m,d,p[N],f[N*N*N],ans;
bool cmp(node x,node y)
{return x.v*y.w>y.v*x.w;}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&d);scanf("%lld",&a[1].w);a[1].v=1;a[1].id=1;for(ll i=2;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&a[i].w,&p[i]),a[i].v=1;for(ll i=n;i>1;i--)a[p[i]].w+=a[i].w,a[p[i]].v+=a[i].v,a[i].id=i;ll mx=n*n*n;memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0]=0;for(ll i=1;i<=n;i++){ll x=min(n,d);for(ll j=1;j<=x;j<<=1){ll w=a[i].w*j,v=a[i].v*j;for(ll k=mx;k>=v;k--)f[k]=min(f[k],f[k-v]+w); x-=j;}if(!x)continue;ll w=a[i].w*x,v=a[i].v*x;for(ll k=mx;k>=v;k--)f[k]=min(f[k],f[k-v]+w);}sort(a+1,a+1+n,cmp);for(ll p=0;p<=mx;p++){if(f[p]>m)break;ll v=p,w=f[p],i=1;for(i=1;i<n;i++){if(a[i].id==1)break;ll x=min(d-min(n,d),(m-w)/a[i].w);w+=x*a[i].w;v+=x*a[i].v;}ll x=(m-w)/a[i].w;w+=x*a[i].w;v+=x*a[i].v;ans=max(ans,v); }printf("%lld\n",ans);return 0;
}