正题

题目链接:http://poj.org/problem?id=3734

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题目大意

用思种颜色给$n$个格子染色，要求前两种颜色出现偶数次，求方案。

$1\le T\le 100,1\le n\le 10^9$

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解题思路

反正是$\text{EGF}$的十分入门题了。
首先是${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}=e^x$。
这题带标号计数所以求的是
$$(\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^{2i}}{2i!}{)}^2\times (\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}{)}^2$$
嗯，后面那个就是$e^x$，前面那个怎么搞。

考虑点花里胡哨的东西，$e^{-x}={\sum }_{i=0}^{\infty }(-1{)}^i\frac{x^i}{i!}$，然后我们就有
$$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^{2i}}{2i!}=\frac{e+e^{-x}}{2}$$
然后带进式子就是
$$(\frac{e^x+e^{-x}}{2}{)}^2\times e^{2x}=\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}$$
然后$e^{ax}={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}^i\frac{x^i}{i!}$，所以展开一下项就是
$$[x^n]=\frac{4^n+2^n\times 2}{4}=4^{n-1}+2^{n-1}$$

时间复杂度$O(T\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int P=10007;
int n,T;
int power(int x,int b){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);n--;n%=(P-1);printf("%d\n",(power(2,n)+power(4,n))%P);}
}