题目要求：
① $u$节点权值$+x$
② 询问$u$子树权值和

• $u$节点权值$+x$ ：直接加
• $u$子树权值和：dfs序+树状数组

LOJ提交代码 DFS 序 1

题目要求：
① $u$节点子树权值$+x$
② 询问$u$子树权值和

• $u$节点子树权值$+x$：dfs序+区间修改
• 询问$u$子树权值和：dfs序+区间求和

区修+区改可以用2个树状数组或者lazy线段树
LOJ提交代码 DFS 序 2

题目要求：
① $u⇝v$ 路径$+x$
② 询问$u$节点权值
③ 询问$u$子树权值和

采用自底向上的差分$O(n\log n)$：

• $u⇝v$路径$+x$：$u$和$v$分别$+x$而LCA以及LCA的父亲节点分别$-x$
• $u$节点权值：由于采用自底向上差分，不难得出原$u$节点的权值$\to$ $u$节点子树权值和，采用dfs序+树状数组即可解决
• $u$子树权值和：考虑$u$子树一个节点$v$，经过操作二求法得知对于差分后节点$v$的值再求$u⇝v$的路径上的实际点权值时（子树），都会将$v$的贡献加上即差分树中$v$的值对子树$u$权值和的贡献即$$va{l}_v\times (de{p}_v-de{p}_u+1)=va{l}_v\times de{p}_v+(de{p}_u-1)\times va{l}_v$$于是有$u$子树权值和为$$\sum _{v\in Tre{e}_u}va{l}_v\times de{p}_v-(de{p}_u-1)\times \sum _{v\in Tre{e}_u}va{l}_v$$由此得知只需要在用一个树状数组维护$va{l}_v\times de{p}_v$即可根据dfs序求出子树$va{l}_v\times de{p}_v$和，不难得出$u$子树权值和问题也迎刃而解

LOJ提交代码 DFS 序 3

题目要求：
① $u$节点权值$+x$
② $u$节点子树权值$+x$
③ 询问$u⇝v$路径节点权值和

对于$u⇝v$路径权值和可以拆分成4条路径：$root⇝u$，$root⇝v$，$root⇝$LCA，$root⇝$LCA的父亲，于是只需要维护根节点到某个节点的权值和即可解决询问
于是我们让每个节点的权值为到根节点的权值和

• $u$节点权值$+x$：此操作会导致$u$子树中所有节点到根节点的权值和$+x$，因此需要让$u$节点子树权值都$+x$
• $u$节点子树权值$+x$：考虑$u$子树中一个节点$v$，不难得知$u⇝v$路径上所有点都会让$v$节点权值$+x$即$v$节点需要增加$$x\times (de{p}_v-de{p}_u+1)=x\times de{p}_v-x\times (de{p}_u-1)$$不难发现$-x\times (de{p}_u-1)$可以直接子树修改即可而$x\times de{p}_v$说明每一个$x$对当前节点权值增加$x\times de{p}_v$，只需要用一个树状数组记录一下每个点最终有多少$x$即可。

LOJ提交代码 DFS 序 4