codeforces773 D. Perishable Roads（思维+最短路）

D. Perishable Roads

题意简述：一个 $n$ 个点的完全图以 $i$ 为根节点时

询问能构造的树的 $∑d(x)\sum d(x)$ 最小是多少。

$d (x)$ ： $x$ 到根节点边权值最小值

MOONPIE题解

首先有一个显而易见的错误贪心：

不妨假设以 $root\text{root}$ 为根节点重构树，定义 $u→vu\to v$ 这条路径是所有路径的最小值，则我们肯定希望这样构造路径：
$root→u→v⇝others\text{root}\to u\to v\leadsto \text{others}$
也就是把其他所有点都往 $v$ 上连（构成一棵树），这样其他点的代价都是 $wu→vw_{u\to v}$ ，不难得出所求为 $wroot→u+(n−2)×wu→vw_{\text{root}\to u}+(n-2)×w_{u\to v}$ 。
容易想到反例也就是如果 $wroot→uw_{\text{root}\to u}$ 非常非常大，则会不是最优值！！！

不过我们只需要找到一条路径 $root⇝u\text{root}\leadsto u$ 代替 $root→u\text{root}\to u$ ，不难想到答案一定是这种情况： $root⇝u→v⇝others\text{root}\leadsto u\to v\leadsto \text{others}$ （其中 $root⇝u\text{root}\leadsto u$ 是一条链而 $v⇝othersv\leadsto \text{others}$ 是一棵树）

对于链上路径的值有一个结论（详细可查看RingweEH）：

$root→⋯→i→j→k→u→v\text{root}\to\dots\to i\to {j}\to k\to u\to v$
这条链上的边权一定单调递减且只可能存在一例例外（即有可能 $wi→j≤wk→uw_{i\to j}\leq w_{k\to u}$ ）

对于计算答案来说，树上的点 $v⇝othersv\leadsto \text{others}$ 对答案的贡献是 $(n−1−x)×wu→v(n-1-x)×w_{u\to v}$ 而链上的点由于单调递减，只需要从 $root\text{root}$ 跑一边最短路即可由于不知道链上边的个数 $x$ 只需要利用花费提前的思想，跑最短路前把每条边减去 $wu→vw_{u\to v}$ 即可，对于例外情况特殊考虑一下即可。

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
using ll=long long;
constexpr int N=2010;
int g[N][N],n;
ll d[N];
bool st[N];
void dijkstra(int S)
{memset(d,0x3f,sizeof d);memset(st,0,sizeof st);d[S]=0;for(int i=1;i<=n;i++)//例外for(int j=1;j<=n;j++)d[i]=min(d[i],g[i][j]*2ll);for(int i=1;i<=n;i++){int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++)if(!st[j]&&(t==-1||d[t]>d[j])) t=j;st[t]=1;for(int j=1;j<=n;j++) d[j]=min(d[j],d[t]+g[t][j]);}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);cin>>n;int S=1,mn=0x3f3f3f3f;memset(g,0x3f,sizeof g);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i+1;j<=n;j++){cin>>g[i][j];g[j][i]=g[i][j];if(mn>g[i][j]) mn=g[i][j],S=i;}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++) g[i][j]-=mn;dijkstra(S); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<1ll*(n-1)*mn+d[i]<<'\n';
}