正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5825

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题目大意

对于每个$k$，求有多少个长度为$n$的排列有$k$个位置上升。
$1\le n\le 2\times 10^5$

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解题思路

考虑到同时考虑大于和小于十分麻烦，设$f_i$表示钦定$i$个上升时的方案

连续的上升段可以视为同一个组，那么整个序列就会被分为$m=n-k$段，每个组内都是无序的。

所以可以考虑一下$\text{EGF}$来做，因为不能选空段，那么每一段的生成函数就是$e^x-1$。

也就是$f_{n-m}=(e^x-1{)}^m[x^n]$。二项式定理展开一下
$$f_m=\sum _{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right)(-1{)}^{m-i}{e}^{ix}$$
$$=\sum _{i=0}^m\frac{m!}{i!(m-i)!}(-1{)}^{m-i}\frac{i^n}{n!}$$
$$=\frac{m!}{n!}\sum _{i=0}^m\frac{(-1{)}^{m-i}}{(m-i)!}\frac{i^n}{i!}$$
$\text{NTT}$卷起来就好了。

然后$g_i$表示恰好有$i$个的话，上二项式反演即可
$$f_i=\sum _{j=0}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}\right)g_j\Rightarrow g_i=\sum _{j=i}(-1{)}^{j-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})f_j$$
这个也是显然可以卷积快速求得的。

顺带一提的是，这个求得其实就是欧拉数$⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩$

联立上面的$f_i$和$g_i$的式子可以得到欧拉数的通式
$$⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩=\sum _{i=0}^{n-k}(-1{)}^{n-k-i}{i}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+j+1})$$

这个可以一次卷积求得

时间复杂度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=8e5+10,P=998244353;
ll n,m,inv[N],fac[N],f[N],g[N],r[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll op){for(ll i=0;i<m;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=m;p<<=1){ll tmp=power(3,(P-1)/p),len=(p>>1);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<m;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(m,P-2);for(ll i=0;i<m;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
signed main()
{scanf("%lld",&n);inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;inv[0]=fac[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P,fac[i]=fac[i-1]*i%P;for(ll i=0;i<=n;i++)f[i]=inv[i]*power(i,n)%P,g[i]=(i&1)?(P-inv[i]):inv[i];m=1;while(m<=2*n)m<<=1;for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);NTT(f,1);NTT(g,1);for(ll i=0;i<m;i++)f[i]=f[i]*g[i]%P;NTT(f,-1);memset(g,0,sizeof(g));for(ll i=0;i<m;i++)f[i]=(i<n)?(f[i+1]*fac[i+1]%P):0;for(ll i=n;i<m;i++)f[i]=0;for(ll i=0;i<n;i++){f[i]=f[i]*fac[n-i-1];f[i]=(i&1)?(P-f[i]):f[i];g[i]=inv[i];}NTT(f,1);NTT(g,1);for(ll i=0;i<m;i++)f[i]=f[i]*g[i]%P;NTT(f,-1);for(ll i=0;i<n-i-1;i++)swap(f[i],f[n-i-1]);for(ll i=0;i<n;i++){f[i]=f[i]*inv[i]%P;f[i]=((n-i)&1)?f[i]:(P-f[i]);printf("%lld ",f[i]%P);}putchar('0');return 0;
}