正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3971

---

题目大意

一个$1\sim n$的一个排列，设$a_i$表示以$i$结尾的最长上升子序列长度，$b_i$表示以$i$开头的最长下降子序列长度。

给出序列$a$求序列$b$的最大和。

$1\le n\le 10^5$

---

解题思路

考虑数组$a$带来的限制

• 对于一个$a_i=a_j=w(i<j)$那么有$x_i>x_j$
• 对于一个$a_j=w+1$前一个最近的$a_i=w$那么有$x_i<x_j$

第一个限制其实不用管，因为如果我们要最优，一定会满足那个限制。

考虑第二个限制，我们将$i$向$j$连一条边，这样我们就可以得到一棵树（把$0$视为虚根的话）。

那么我们子节点的权值一定要比父节点的大，然后在满足这个的前提下我们优先扩展编号大的节点就好了。

也就是从大到小跑一遍$dfs$序就可以得到$x$数组。

然后用树状数组统计一下答案。

时间复杂度$O(n\log n)$

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{int to,next;
}a[N];
int n,tot,cnt,dfn[N],ls[N],t[N],las[N];
long long ans;
void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x){dfn[x]=++cnt;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next)dfs(a[i].to);return;
}
void Change(int x,int val){while(x<=n){t[x]=max(t[x],val);x+=lowbit(x);}return;
}
int Ask(int x){int ans=0;while(x){ans=max(ans,t[x]);x-=lowbit(x);}return ans;
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);addl(las[x-1],i);las[x]=i; }cnt=-1;dfs(0);for(int i=n;i>=1;i--){int t=Ask(dfn[i])+1;ans+=t;Change(dfn[i],t);}printf("%lld\n",ans);return 0;
}