虽然只有1道题，但是含金量还是够够di

题目

题解

我们直接对答案输出格式进行处理：设第 $i$ 天走的路程为 $a_i$，总路程为 $S={\sum }_{i=1}^{n}le{n}_i$，那么 $v={\sum }_{i=1}^m\frac{(a_i-\frac{S}{m}{)}^2}{m}$

因为输出要乘以$m^2$，就变成了 ${\sum }_{i=1}^m(a_i-\frac{S}{m}{)}^2\ast m$

将求和 $sigma$ 拆开，得到 $m\ast ({\sum }_{i=1}^m{a}_i-\frac{{\sum }_{i=1}^{m}2\ast a_i\ast S}{m}+{\sum }_{i=1}^m\frac{S^2}{m^2})$

再把 $m$ 丢进去，成为 $m\ast {\sum }_{i=1}^m{a}_i-{\sum }_{i=1}^{m}2\ast a_i\ast S+{\sum }_{i=1}^m\frac{S^2}{m}$

上述式子就变了：$m\ast {\sum }_{i=1}^m{a}_i-2\ast S\ast S+m\ast \frac{S^2}{m}$

化简得，需要我们求 $m\ast {\sum }_{i=1}^m{a}_i^2-S^2$

因为 $m$ 和 $S$ 都是已知的，要求出最小答案，即需要我们求得 ${\sum }_{i=1}^m{a}_i^2$ 最小即可

我们要使得这个和最小，可以设 $dp[j][i]$ 表示 j 天走了 i 段路的最优方案

则有，$dp[j][i]=\min \{dp[j-1][k]+(s[i]-s[k]{)}^2\}(k\in [1，i-1]$，其中 $s_i$ 表示前 $i$ 段路的前缀和。

这样，我们就可以直接对答案进行 $DP$，时间复杂度为 $O(n{m}^2)$

但是很显然，这样是不能把分拿满的。考虑优化。

对于这个式子，很显然，它的第一维是可以滚动的：我们设 $g(i)=dp[j-1][i]$

对于 $i$ 为 $a$ 和 $i$ 为 $b$ 两个点，若 $a$ 比 $b$ 优，则

$g(a)+(s_i-s_a{)}^2<g(b)+(s_i-s_b{)}^2$

$\Rightarrow g(a)+s_a^2-2\ast s_i\ast s_a<g(b)+s_b^2-2\ast s_i\ast s_b$

$\Rightarrow \frac{(g(a)+s_a^2)-(g(b)+s_b^2)}{s_a-s_b}<2\ast s_i$ 【这一步成立的前提是因为 $s$ 是单调的】

可以发现，左边是一个斜率式子。

斜率优化 $dp$ 即可。

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 3005
int n, m, len;
int dp[MAXN][MAXN];
int s[MAXN], deq[MAXN * MAXN];int Find_y ( int u, int v, int j ) {int first = dp[j - 1][u] + s[u] * s[u];int second = dp[j - 1][v] + s[v] * s[v];return first - second;
}
int Find_x ( int u, int v ) {return s[u] - s[v];
}int main() {scanf ( "%d %d", &n, &m );for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf ( "%d", &len );s[i] = s[i - 1] + len;}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )dp[1][i] = s[i] * s[i];for ( int j = 2;j <= m;j ++ ) {int head = 1, tail = 0;for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {while ( head < tail && Find_y ( deq[head], deq[head + 1], j ) > 2 * s[i] * Find_x ( deq[head], deq[head + 1] ) )head ++;dp[j][i] = dp[j - 1][deq[head]] + s[i] * s[i] - 2 * s[i] * s[deq[head]] + s[deq[head]] * s[deq[head]];while ( head < tail && Find_y ( deq[tail], deq[tail - 1], j ) * Find_x ( i, deq[tail] ) > Find_y ( i, deq[tail], j ) * Find_x ( deq[tail], deq[tail - 1] ) )tail --;deq[++ tail] = i;}}printf ( "%d", m * dp[m][n] - s[n] * s[n] );return 0;
}