昨天晚上，初见它时，月黑风高，一个电脑，一支笔，一个人

今天秋高气爽，再一瞥，回眸间

题目

题解

首先这种 $i$ 天与前面 $j$ 天有关联，而且让你求最后一天的极值
我们一定会联想到 $DP$

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先搞定 $dp$ 定义?

第一维毋庸置疑就是表示 $i$ 天，接着思考一下第二维 $j$
1）如果表示 $i$ 天买了或者卖了 $j$ 股票，就遇到了一个问题，$i-W-1$ 天的时候股票数又是多少呢?
难道我要再去用一重循环枚举吗？显然不现实。

2）如果表示 $i$ 天手上还拥有着 $j$ 股票（ $i$ 天已经操作完成了）
那么 $\pm k$ 就是 $i-W-1$ 的股票数了

综上 $dp[i][j]:i$ 天手上的股票数为 $j$ 时的最大收益。

最后输出 $dp[n][0]$ 就可以了，$n$ 天的时候手上没有股票数肯定是最优解了，不然你手上捏着股票又买卖不了，拿来擦屁股吗？？

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找到转移方程式?

• 这一天闲得慌，不买也不卖

  $dp[i][j]=dp[i-1][j](0\le j\le MaxP)$

• 这一天才开始玩股票，只能去购进股票

  $dp[i][j]=-j\ast a{p}_i(j-a{s}_i\le k<j)$

• 自由权比较大，手上有点资本，也要购进

  $dp[i][j]=dp[i-W-1][k]-(j-k)\ast a{p}_i(j-a{s}_i\le k<j)$

• 该开始赚钱钱了，卖一点股票出去

  $dp[i][j]=dp[i-W-1][k]+(k-j)\ast b{p}_i(j<k\le j+b{s}_i)$

在这四种情况下，取一个 $max$ 即可。

那么为什么i-W-1就是当前最优解呢？

因为我们是一天一天递推过去的，当前最优解会被传递过去，

这也是我们DP需要完成的

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分析这个 $DP$ 的时间复杂度，$O(n^3)$。

所以必须对 $k$ 优化

我们就去拆一拆 case3 case4 的 $DP$ 式

$$dp[i][j]=dp[i-W-1][k]-(j-k)\ast a{p}_i(j-a{s}_i\le k<j)$$$$\Downarrow$$$$dp[i][j]=dp[i-W-1][k]+k\ast a{p}_i-j\ast a{p}_i(j-a{s}_i\le k<j)$$
我们会发现 $j\ast a{p}_i$ 是固定不变的。

也就是说真正影响 $dp[i][j]$ 的是 $dp[i-W-1][k]+k\ast a{p}_i$

而且 $dp[i-W-1][k]+k\ast a{p}_i$ 越大越好。

发现这个方程的实质是 $k\in [j-a{s}_i,j)$ 这个范围内取得的且只和 $k$ 有关。

$$dp[i][j]=dp[i-W-1][k]+(k-j)\ast b{p}_i(j<k\le j+b{s}_i)$$$$\Downarrow$$$$dp[i][j]=dp[i-W-1][k]+k\ast b{p}_i-j\ast b{p}_i(j<k\le j+b{s}_i)$$

我们会发现 $j\ast b{p}_i$ 是固定不变的。

也就是说真正影响 $dp[i][j]$ 的是 $dp[i-W-1][k]+k\ast b{p}_i$

而且 $dp[i-W-1][k]+k\ast b{p}_i$ 越大越好。

发现这个方程的实质是 $k\in (j,j+b{s}_i]$ 这个范围内取得的且只和k有关

结合以上两种情况：就会联想到我们的单调队列了。

维护 $k$ 的范围而且从大到小，每次取队头 $head$ 进行更值

这样就转化成了$O(n^2)$。

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最后注意一下循环顺序

买股票就从小到大 $0\sim MaxP$

卖股票就从大到小 $MaxP\sim 0$

代码实现

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 2005
int T, MaxP, W;
int ap, bp, as, bs;
int head, tail;
int deq[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main() {scanf ( "%d %d %d", &T, &MaxP, &W );++ W;dp[0][0] = -MAXN * MAXN;for ( int i = 1;i <= MaxP;i ++ )dp[0][i] = dp[0][i - 1];for ( int i = 1;i <= T;i ++ ) {scanf ( "%d %d %d %d", &ap, &bp, &as, &bs );for ( int j = 0;j <= MaxP;j ++ )dp[i][j] = dp[i - 1][j];for ( int j = 0;j <= as;j ++ )dp[i][j] = max ( dp[i][j], -j * ap );if ( i > W ) {head = 1, tail = 0;for ( int j = 0;j <= MaxP;j ++ ) {while ( head <= tail && deq[head] < j - as )head ++;while ( head <= tail && deq[tail] * ap + dp[i - W][deq[tail]] <= j * ap + dp[i - W][j] )-- tail;deq[++ tail] = j;dp[i][j] = max ( dp[i][j], dp[i - W][deq[head]] + deq[head] * ap - j * ap );}head = 1, tail = 0;for ( int j = MaxP;j >= 0;j -- ) {while ( head <= tail && deq[head] > j + bs )head ++;while ( head <= tail && deq[tail] * bp + dp[i - W][deq[tail]] <= j * bp + dp[i - W][j] )tail --;deq[++ tail] = j;dp[i][j] = max ( dp[i][j], dp[i - W][deq[head]] + deq[head] * bp - j * bp );}}}printf ( "%d", dp[T][0] );return 0;
}