所谓KDtree，就是有K个D的树

（逃）

前言

KDtree是一种解决多维问题的暴力数据结构
K维状态下的最差复杂度是$n^{k-1/k}$
在最常见的2Dtree中就是根号n
但是玄学的它常常能到logn的复杂度
是骗分利器 （据说）
代码实现很恶心，又长又长
和splay有一拼
甚至更加恶心

思想

按照每一维交错排序
不断用超平面尽量的平分所有点

能解决的问题

通常是一些数据为二元组，对满足某些偏序关系的数据进行操作的问题
或者是各种经典的二维平面第k近第k远之类的

操作

建树

就是按照思想所说的模拟即可
使用O(n)的nth_element十分方便

int build(int l,int r,int f){int mid=(l+r)>>1;F=f;nth_element(p+l,p+mid,p+r+1);int k=New(p[mid]);if(l<mid) tr[k].ls=build(l,mid-1,f^1);if(mid<r) tr[k].rs=build(mid+1,r,f^1);pushup(k);return k;
}

询问

经典的KD树的询问就是寻找最近点
递归到一个结点时
首先用该点更新答案
然后算出两个子树的点范围围成的矩形到改点的最小值
计算的trick：

int getdis(point o,int k){int res=0;for(int i=0;i<=1;i++){res+= max(0,tr[k].mn[i]-o.x[i])+max(0,o.x[i]-tr[k].mx[i]);}return res;
}

然后如果某个子树的距离最小值比当前答案大，可以直接跳过
否则先从最小值较小的开始尝试搜索
代码如下：

void query(int k,point now){int dl,dr,l=tr[k].ls,r=tr[k].rs;ans=min(ans,dis(tr[k].o,now));if(l) dl=getdis(now,tr[k].ls);if(r) dr=getdis(now,tr[k].rs);if(dl<dr){if(l&&dl<ans) query(tr[k].ls,now);if(r&&dr<ans) query(tr[k].rs,now);}else{if(r&&dr<ans) query(tr[k].rs,now);if(l&&dl<ans) query(tr[k].ls,now);}
}

当然，我们还要维护每个结点的子树中的点的矩形的范围：

void pushup(int k){int l=tr[k].ls,r=tr[k].rs;for(int i=0;i<=1;i++){tr[k].mn[i]=tr[k].mx[i]=tr[k].o.x[i];if(l){tr[k].mn[i]=min(tr[k].mn[i],tr[l].mn[i]);tr[k].mx[i]=max(tr[k].mx[i],tr[l].mx[i]);}if(r){tr[k].mn[i]=min(tr[k].mn[i],tr[r].mn[i]);tr[k].mx[i]=max(tr[k].mx[i],tr[r].mx[i]);}}tr[k].siz=tr[l].siz+tr[r].siz+1;return;
}

修改

考虑直接顺着树的性质往下递归到空子树建个新点即可：

void insert(int &k,int f,point u){if(!k){k=New(u);return;}if(u.x[f]<=tr[k].o.x[f]) insert(tr[k].ls,f^1,u);else insert(tr[k].rs,f^1,u);pushup(k);check(k,f);return;
}

代码中的那个check是干啥的？
这样在插入点规模过大时会使树失衡，变成O(n)
所以我们仿照替罪羊树的思路，设定常数x如果某个结点的一个子树的大小超过总大小x倍，把整个子树拍扁再重构
所谓“拍扁”，就是把所有点结点放回一维数组中：

void pia(int k,int num){if(tr[k].ls) pia(tr[k].ls,num);p[num+tr[tr[k].ls].siz+1]=tr[k].o;if(tr[k].rs) pia(tr[k].rs,num+tr[tr[k].ls].siz+1);rub[++top]=k;return;
}

（rub数组用于回收废点）
然后重构直接调用build就行了：

void check(int &k,int f){if(tr[tr[k].ls].siz>tr[k].siz*A||tr[tr[k].rs].siz>tr[k].siz*A){pia(k,0);k=build(1,tr[k].siz,f);//printf("ok");}return;
}

完整代码

题目传送门

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=2e6+100;
const int M=1050;
const int mod=998244353;
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
int n,m,tot,num;
int rub[N],top;
int F;
struct point{int x[2];}p[N];
#define dis(a,b) (abs(a.x[0]-b.x[0])+abs(a.x[1]-b.x[1]))
bool operator < (const point a,point b){return a.x[F]<b.x[F];}
struct node{int mn[2],mx[2],ls,rs,siz;point o;
}tr[N];
int New(point u){int x=top?rub[top--]:++tot;tr[x].o=u;tr[x].siz=1;tr[x].mn[0]=tr[x].mx[0]=u.x[0];tr[x].mn[1]=tr[x].mx[1]=u.x[1];tr[x].ls=tr[x].rs=0;return x;
}
void pushup(int k){int l=tr[k].ls,r=tr[k].rs;for(int i=0;i<=1;i++){tr[k].mn[i]=tr[k].mx[i]=tr[k].o.x[i];if(l){tr[k].mn[i]=min(tr[k].mn[i],tr[l].mn[i]);tr[k].mx[i]=max(tr[k].mx[i],tr[l].mx[i]);}if(r){tr[k].mn[i]=min(tr[k].mn[i],tr[r].mn[i]);tr[k].mx[i]=max(tr[k].mx[i],tr[r].mx[i]);}}tr[k].siz=tr[l].siz+tr[r].siz+1;return;
}
void print(int k){printf("k=%d (%d %d) ls=%d rs=%d mn=(%d %d) mx=(%d %d)\n",k,tr[k].o.x[0],tr[k].o.x[1],tr[k].ls,tr[k].rs,tr[k].mn[0],tr[k].mn[1],tr[k].mx[0],tr[k].mx[1]);
}
int build(int l,int r,int f){int mid=(l+r)>>1;F=f;nth_element(p+l,p+mid,p+r+1);int k=New(p[mid]);if(l<mid) tr[k].ls=build(l,mid-1,f^1);if(mid<r) tr[k].rs=build(mid+1,r,f^1);pushup(k);return k;
}
void pia(int k,int num){if(tr[k].ls) pia(tr[k].ls,num);p[num+tr[tr[k].ls].siz+1]=tr[k].o;if(tr[k].rs) pia(tr[k].rs,num+tr[tr[k].ls].siz+1);rub[++top]=k;return;
}
double A=0.75;
void check(int &k,int f){if(tr[tr[k].ls].siz>tr[k].siz*A||tr[tr[k].rs].siz>tr[k].siz*A){pia(k,0);k=build(1,tr[k].siz,f);//printf("ok");}return;
}
void insert(int &k,int f,point u){if(!k){k=New(u);return;}if(u.x[f]<=tr[k].o.x[f]) insert(tr[k].ls,f^1,u);else insert(tr[k].rs,f^1,u);pushup(k);check(k,f);return;
}
int getdis(point o,int k){int res=0;for(int i=0;i<=1;i++){res+= max(0,tr[k].mn[i]-o.x[i])+max(0,o.x[i]-tr[k].mx[i]);}return res;
}
int ans;
void query(int k,point now){int dl,dr,l=tr[k].ls,r=tr[k].rs;ans=min(ans,dis(tr[k].o,now));if(l) dl=getdis(now,tr[k].ls);if(r) dr=getdis(now,tr[k].rs);if(dl<dr){if(l&&dl<ans) query(tr[k].ls,now);if(r&&dr<ans) query(tr[k].rs,now);}else{if(r&&dr<ans) query(tr[k].rs,now);if(l&&dl<ans) query(tr[k].ls,now);}
}
int r;
int main(){
//	freopen("a.in","r",stdin);
//	freopen("a.out","w",stdout);n=read();m=read();for(int i=1;i<=n;i++){p[i]=(point){read(),read()};}r=build(1,n,0);for(int i=1;i<=m;i++){int op=read(),x=read(),y=read();point o=(point){x,y};if(op==1){insert(r,0,o);}else{ans=2e9;query(r,o);printf("%d\n",ans);}}return 0;
}
/**/

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