前言

这两天由于国庆集训全是阴间的生成函数，所以就学了一点点相关的内容
其实就学了个FFT和NTT
也算是点开了一个小小的技能点吧
进入多项式才发现里面世界的广阔
然而由于这玩意没有一个是NOIP考点，而且似乎对于提高级的题目解决不会有太大的辅助作用 （不像某些神仙的数据结构） 所以觉得后面的先放放吧
但是这几天多项式也水了四紫两蓝嘛awa

力

入门题
裸且简单
但是我当时实在是根本没明白多项式是啥
所以还是看了题解
…不丢人！（理直气壮）
一个技巧是把函数翻转
但这本身甚至几乎不配叫做技巧
qwq

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define il inline
const int N=1e6+100;
const int M=150;
const int mod=998244353;
const double pi=acos(-1.0);
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
int n,m,lim,k;
struct node{double x,y;node(double a=0,double b=0){x=a;y=b;}
}A[N],B[N],C[N];
il node operator * (node a,node b){return (node){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};
}
il node operator + (node a,node b){return (node){a.x+b.x,a.y+b.y};
}
il node operator - (node a,node b){return (node){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
int r[N];
il void fft(node *x,int lim,int flag){for(int i=0;i<=lim;i++){if(i<r[i]) swap(x[i],x[r[i]]);}for(int l=1;l<lim;l<<=1){node o(cos(pi/l),flag*sin(pi/l));for(int st=0;st<=lim;st+=l<<1){node t(1,0);for(int j=0;j<l;j++,t=t*o){node u=x[st+j],v=t*x[st+j+l];x[st+j]=u+v;x[st+j+l]=u-v;}}}return;
}
int main(){n=read();for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&A[i].x);B[i].x=(double)(1.0/i/i);C[n-i].x=A[i].x;}int L=0,lim=1;while(lim<=n<<1){lim<<=1;L++;}for(int i=1;i<=lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));fft(A,lim,1);fft(B,lim,1);fft(C,lim,1);for(int i=0;i<=lim;i++){A[i]=A[i]*B[i];C[i]=C[i]*B[i];}fft(A,lim,-1);fft(C,lim,-1);for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lf\n",(A[i].x-C[n-i].x)/lim);return 0;
}
/**/

礼物

这个题是自己做的
显然要把平方拆开
然后发现加上的亮度是可以O1算的
然后是变成最小化一个奇怪的东西
由于循环的性质倍长一下即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define il inline
const int N=2e6+100;
const double pi=acos(-1.0);
ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
int n,m;
struct node{double x,y;node (double a=0,double b=0){x=a;y=b;}
}A[N],B[N];
il node operator *(node a,node b){return (node){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};
}
il node operator +(node a,node b){return (node){a.x+b.x,a.y+b.y};
}
il node operator -(node a,node b){return (node){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
int r[N];
il void fft(node *x,int lim,int flag){for(int i=1;i<lim;i++){if(i<r[i]) swap(x[i],x[r[i]]);}for(int l=1;l<lim;l<<=1){node o(cos(pi/l),flag*sin(pi/l));for(int st=0;st<lim;st+=l<<1){node t(1,0);for(int i=0;i<l;i++,t=t*o){node u=x[st+i],v=t*x[st+l+i];x[st+i]=u+v;x[st+l+i]=u-v;}}}
}
ll x[N],y[N],tot,Sx,Sy,ans=2e18;
int main(){n=read();m=read();for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++) y[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++){tot+=x[i]*x[i]+y[i]*y[i];Sx+=x[i];Sy+=y[i];}if(Sy<Sx) swap(Sy,Sx);ll a=(Sy-Sx)/n,b=a+1;if(a*a*n+2*a*(Sx-Sy)>b*b*n+2*b*(Sx-Sy)) swap(a,b);tot+=a*a*n+2*a*(Sx-Sy);//printf("a=%d\n",a);for(int i=1;i<=n;i++){A[i].x=x[i];B[n+n-i].x=B[n-i].x=y[i];}int lim=1,L=0;while(lim<3*n+2){lim<<=1;L++;}for(int i=1;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));fft(A,lim,1);fft(B,lim,1);for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]*B[i];fft(A,lim,-1);for(int i=0;i<n;i++){ll now=(ll)(A[n-i+n].x/lim+0.5);ans=min(ans,tot-2*now);}printf("%lld\n",ans);
}

差分和前缀和

看起来完全的裸题然鹅我就是不会
本题的一个关键思想是卷积满足结合律
所以你只要把k=1的柿子找到无脑k次方即可
前缀和和模拟考试的式子一模一样
主要是卡在了差分
就是卷了一个$1-x$
其实不必“发现”，可以生成函数很方便的求出来
然后k次方二项式就像喝水一样了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e6+100;
const int mod= 1004535809; 
#define il inline
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();x%=mod;}return x*f;
}
ll n,k;
ll A[N],B[N],r[N],lim,L;
ll ksm(ll x,ll k){ll res=1;while(k){if(k&1) res=res*x%mod;x=x*x%mod;k>>=1;}return res;
}
void ntt(ll *x,int flag){for(int i=0;i<lim;i++){if(i<r[i]) swap(x[i],x[r[i]]);}for(int l=1;l<lim;l<<=1){ll t0=ksm(3,(mod-1)/(l<<1));if(flag==-1) t0=ksm(t0,mod-2);for(int st=0;st<lim;st+=l<<1){ll t=1;for(int i=0;i<l;i++,t=t*t0%mod){ll u=x[st+i],v=t*x[st+i+l]%mod;x[st+i]=(u+v)%mod;x[st+i+l]=(u-v+mod)%mod;}}}if(flag==-1){ll ni=ksm(lim,mod-2);for(int i=0;i<lim;i++) x[i]=x[i]*ni%mod;}
}
int main(){n=read();k=read();int op=read();for(int i=1;i<=n;i++) A[i]=read();if(op==0){B[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){B[i]=B[i-1]*(k+i-1)%mod*ksm(i,mod-2)%mod;//printf("i=%d %lld\n",i,B[i]);}}else{//B[0]=k%2?-1:1;B[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){B[i]=-1*B[i-1]*(k-i+1)%mod*ksm(i,mod-2)%mod;//B[i]=(B[i]+mod)%mod;//printf("i=%d %lld\n",i,B[i]);}for(int i=0;i<=n;i++) B[i]=(B[i]+mod)%mod;}lim=1;while(lim<n+n+1) lim<<=1,L++;for(int i=1;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));ntt(A,1);ntt(B,1);for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mod;ntt(A,-1);for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",A[i]);return 0;
}
/*
3 1 1
1 1 1
*/

开拓者的知识

题面的图好可爱丫！
虽然还是不太难，但对于刚入门的我而言，也可以作为一道暂时的毕业题了
我的做法：

1. 瞪眼观察（失败）
2. 暴力打表
3. 寻找规律
4. 卷积
5. tmd模数用的楼上那题的1004535809忘改了WA了3次
6. AC

打表真香
但是我们还是要给那个通项一个来头
我是根本没有理解这个柿子的性质
关键性质：sum往上递归时，区间只会减小不会增大
挺显然的
那么考虑对于一个固定的$r$,$a_i$会对其产生多少贡献
显然就是你取k个端点不能往外移，且最终（也就是每个）区间都包含i的方案数
这玩意其实就是(1,i)选可重的k个做左端点，(i,r)选可重的k个做右端点
经典的可重复放置的计数
就可以辣

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e6+100;
const int mod= 1004535809; 
#define il inline
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
ll n,k;
ll A[N],B[N],r[N],lim,L;
ll ksm(ll x,ll k){ll res=1;while(k){if(k&1) res=res*x%mod;x=x*x%mod;k>>=1;}return res;
}
void ntt(ll *x,int flag){for(int i=0;i<lim;i++){if(i<r[i]) swap(x[i],x[r[i]]);}for(int l=1;l<lim;l<<=1){ll t0=ksm(3,(mod-1)/(l<<1));if(flag==-1) t0=ksm(t0,mod-2);for(int st=0;st<lim;st+=l<<1){ll t=1;for(int i=0;i<l;i++,t=t*t0%mod){ll u=x[st+i],v=t*x[st+i+l]%mod;x[st+i]=(u+v)%mod;x[st+i+l]=(u-v+mod)%mod;}}}if(flag==-1){ll ni=ksm(lim,mod-2);for(int i=0;i<lim;i++) x[i]=x[i]*ni%mod;}
}
ll f[N];
int main(){n=read();k=read();for(int i=1;i<=n;i++) A[i]=read()%mod;f[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*(k+i-1)%mod*ksm(i,mod-2)%mod;for(int i=1;i<=n;i++){A[i]=A[i]*f[i-1]%mod;}for(int i=0;i<=n;i++){B[i]=f[i];}lim=1;while(lim<n+n+2) lim<<=1,L++;for(int i=1;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));ntt(A,1);ntt(B,1);for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mod;ntt(A,-1);for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",A[i]);return 0;
}
/*
3 1 1
1 1 1
*/

总结

说实话上道之后这些刚入门的多项式的题确实不算很难
但多项式真的是路漫漫其修远兮…
我可能会noip之后开始系统的搞一搞吧
那时候时间就充裕了
现在还是要重点在提高级内容
辣么，再见~