AT2070-[ARC061D]3人でカードゲーム/Card Game for Three【计数,组合数学】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2070

题目大意

有三堆卡牌各有 $n, m, k$ 张，每张上写了 $a / b / c$ ，对于第 $1 / 2 / 3$ 堆卡牌。然后开始从第一堆拿牌，然后根据拿到的牌在对应的堆拿牌。

如果到一堆拿牌时没有牌就结束，求第一张牌结束的方案数。

$1≤n,m,k≤3×1051\leq n,m,k\leq 3\times 10^5$

解题思路

显然牌的序列我们不是很好处理因为不是顺序拿的，我们可以操作每次取的堆的编号序列。

显然它的长度不是固定的，我们枚举其长度 $n + i$ （也就是除了 $n$ 个 $1$ 以外有 $i$ 个其他的）。

然后答案就是
$∑i=0m+k3m+k−i(n+i−1i)∑i−k≤j≤m(ij)\sum_{i=0}^{m+k}3^{m+k-i}\binom{n+i-1}{i}\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i}{j}$
后面那个很难处理但是注意到区间的范围是每次向前移动，而且上面那个值是每次加一，暴力拆开
$∑i−k≤j≤m(ij)=∑i−k≤j≤m(i−1j−1)+(i−1j)\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i}{j}=\sum_{i-k\leq j\leq m}\binom{i-1}{j-1}+\binom{i-1}{j}$
$⇒2∑i−1−k≤j≤m(i−1j)−(i−1i−1−k)−(i−1m)\Rightarrow 2\sum_{i-1-k\leq j\leq m}\binom{i-1}{j}-\binom{i-1}{i-1-k}-\binom{i-1}{m}$

然后就可以 $O (n)$ 递推了。

时间复杂度： $O (n + m + k)$

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,m,k,ans,fac[N],inv[N],s[N],pw[N];
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{fac[0]=inv[0]=inv[1]=pw[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*3ll%P;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);s[0]=1;ans=pw[m+k];for(ll i=1;i<=m+k;i++){s[i]=2*s[i-1]%P;if(i>m)(s[i]+=P-C(i-1,m))%=P;if(i>k)(s[i]+=P-C(i-1,i-k-1))%=P;(ans+=C(n+i-1,i)*s[i]%P*pw[m+k-i])%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}