前言

最近两场xie教练的考试都拉到了动态维护多条直线求最值的凸包问题
然后很愉快的一道都做不出来呢
所以学习了一下下，就写了个小博客

李超树

引入(斜率优化)

学习了$c++$，就必少不了$dp$的花式玩法
也就不会错过各种$O(1),O(log)$的优化
前缀和…斜率优化…单调队列…单调栈…

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我们看一个$dp$状态转移方程式
dp[i]=max{dp[j]+bi∗aj+a[i]},j<idp[i]=max\{dp[j]+b_i*a_j+a[i]\},j<idp[i]=max{dp[j]+bi​∗aj​+a[i]},j<i

一般这种长相，噢不，准确来说，很多$dp$的这种长相，都会跟凸包挂钩

因为出题人不想考那么板的dp送分，就只能搞搞单调让你优化
而我们目前已知的解决凸包就是斜率优化

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假设题目保证$a_i$递增

假设$j<k<i$且决策点$j$优于决策点$k$，则有
$$dp[j]+b_i\ast a_j+a[i]>dp[k]+b_i\ast a_k+b[i]①$$$$dp[j]-dp[k]>b_i\ast (a_k-a_j)②$$题目保证$a$单增，即$a_k-a_j>0$，继续变形得到
$$\frac{dp[j]-dp[k]}{a_k-a_j}>b_i③$$
上述过程其实就是斜率优化的推导过程，这种情况下我们仍然可以吃老本——走斜率优化

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但是，如果题目不保证$a_i$单调呢？？这个时候，斜率优化可以慢走不送了

这个条件去掉后，为什么斜率优化不行了呢？？
再回到上面的推导过程，②能推导出③，实际上是把$a_k-a_j$除了过去
也就是说我们是肯定了$a_k-a_j$的符号才敢这样转移
一旦不确定了，大于小于符号就会错乱，无法斜率优化
ps：我刚刚偷换了一下，我把单增变成了题目不保证单调，因为单减也是可以斜率优化的

所以斜率优化是建立在单调的基础上的

---

此时我们怎么办呢？？

1. 暴力的气息扑面而来
2. 祈祷数据会有单调的(概率：0.00…01%) 除非你是出数据的
3. 乱搞
4. 其它优秀的做法
5. 我们的主角当当当————李超树！！！！yyds！

什么是李超树？

李超树 额(⊙﹏⊙)…按xie教练的话就是——懒标记永久化的线段树

明明就是个懒标记永久化，搞不懂为什么要专门取个名字叫李超树 ·····················——xie教练

管他的，反正我们不需要了解，它能有点用才是我们关注的！

李超树活着能干点什么？

1. 维护一段区间的多条直线
2. 支持单点查询多条直线的极值，如查询$x$处的多条直线的纵坐标最大值
3. 支持区间查询直线极值，如查询区间$[l,r]$中各直线最值的最大值

本篇博客仅从“单点查询多条直线的极值”入手，因为博主目前只会这一种

只要你能写出 $f[i]=max/min(f[j]\ast h(i)+g[j])+t(i)$
搞那么复杂干什么， 其实就是你能写出一条一次函数的解析式 $y=kx+b$
李超树就能硬刚！

算法思想(使用手册？)

维护上凸包和下凸包差不多，我们以维护最大值为例

李超树每个区间记录的是该区间中点$mid$处的最大/小函数值对应的函数

插入

分两种情况

1. 完全覆盖
   
   新的红线在$[l,r]$区间上完全优于原来该区间存的直线，那么将直接进行全覆盖
   然后就$return$，不用去更新左右子树
   至于为什么？跟查询写法有关，也跟部分覆盖挂钩
   因为此时更新后如果没有出现部分覆盖的情况，查询我们也会查到这条直线的值
   如果出现了部分覆盖的情况，此时的红线就会部分下放更新
   反正此时的黄线已经是个废物了，只需要知道这点就o了
2. 部分覆盖
   2-1.
   
   首先这个区间$[l,r]$存的直线与$mid$挂钩，此时红线在$mid$处的函数值优于黄线
   所以李超线段树$[l,r]$这一个区间就会存红线的解析式
   那这个黄线呢？？它也并不是全无用，我们需要继续递归右子树，去更新蓝色部分的区间
   
   2-2.
   
   此时红线在$mid$处的函数值劣于黄线，李超线段树$[l,r]$这一个区间的解析式仍然是黄线
   但这个红线呢？？也并不是全无用，我们需要继续递归做子树，去更新蓝色部分的区间
   

这三种情况怎么判断呢？就是怎么写呢？
很简单——直线是单调的
我们只需要掌握$l,mid,r$三个点的两点函数值就可以了，具体可看模板

查询

每一个区间都存了一条直线，可能相同也可能不同
一个点被多个区间包含，也就会被多条直线包含
所以我们一路上下来遇到的每一个区间都要算一次$x$对应的函数值，取最大值
有可能先遇到的直线的函数值比后遇到的直线的函数值还小，这是有可能的
因为那些区间的函数解析式是根据那些区间的中点$mi{d}_i$的函数值决定的
谁管你这个小虾皮
举个栗子

这一路上涉及到的四个点的每一条解析式(黑线)都要把$x$带进去算出$y_1,y_2,y_3,y_4$

模板

判断是否覆盖(优不优)

double calc( node num, int x ) {return num.k * x + num.b;
}bool cover( node old, node New, int x ) {return calc( old, x ) <= calc( New, x ); 
}

插入

void insert( int num, int l, int r, node New ) {if( cover( t[num], New, l ) && cover( t[num], New, r ) ) {//新的直线完全覆盖了原区间的最优直线 t[num] = New;return;}if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;if( cover( t[num], New, mid ) )//区间[l,r]维护x=mid的最优值 swap( t[num], New );//现在这条直线需要继续往下去更新左右儿子(如果这条直线更优) if( cover( t[num], New, l ) ) insert( num << 1, l, mid, New );if( cover( t[num], New, r ) )insert( num << 1 | 1, mid + 1, r, New );
}

查询

这个版本有限制！！！
这个版本有限制！！！
这个版本有限制！！！

也许是我写法问题
此版本查询维护的是直线，也就是说每一条直线都会覆盖到所有的查询点
我们知道$[l,r]$区间维护的函数解析式是当$x=mid$时，函数值最大的那条解析式
因为每一条线都能覆盖完，所以每一个区间$[l,r]$都会维护一条直线
于是乎此版本的优化：$x=mid$时直接返回，不再寻找左右儿子
在这个前提下，这个优化才有正确性保障

double query( int num, int l, int r, int x ) {double ans = -1e9;int mid = ( l + r ) >> 1;if( x < mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );if( mid < x ) ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x ) );
}

这一个版本维护的是线段，可能只会覆盖到一部分查询点

对应的插入操作也会发生改变，$[l,r]$能插入当且仅当$[l,r]$被某条直线完全包含，我们要再写一个$modify$

void modify( int num, int l, int r, int L, int R, node New ) {if( L > R ) return;if( L <= l && r <= R ) {insert( num, l, r, New );return;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( R <= mid ) modify( num << 1, l, mid, L, R, New );else if( mid < L ) modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, New );else {modify( num << 1, l, mid, L, mid, New );modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, R, New );}
}

也就是说$[l,r]$区间如果没有被一条直线完全覆盖的话，这个区间是没有存直线的
那么当我们继续沿用之前的优化，$x=mid$就返回，很可能这段区间压根没有直线解析式
所以我们必须继续询问左儿子或者右儿子

打破砂锅问到底

double query( int num, int l, int r, int x ) {double ans;if( l == r ) return calc( t[num], x - 1 );int mid = ( l + r ) >> 1;if( x <= mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );else ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x - 1 ) );
} 

直线也可看作一条无限长的线段，因此此版本适用范围广

如果不是很理解，下面两道例题就能很好的辨析出来，┏ (゜ω゜)=☞
线段游戏的样例就会发现查询的写法不同会有问题，可以分布调试看看

例题

板题：BlueMary开公司

分析

每一个项目看作一条直线，而某一天就是查询点
依题意可得，每一个项目可以覆盖每一天，也就是直线覆盖所有点情况
两种查询模板都可以直接上

code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define maxn 50005
struct node {double k, b;node(){}node( double K, double B ) {k = K, b = B;}
}t[maxn << 2];
int n;double calc( node num, int x ) {return num.k * x + num.b;
}bool cover( node old, node New, int x ) {return calc( old, x - 1 ) <= calc( New, x - 1 ); //题目原因 符合要求的x实际上是需要-1才算得出正确收益 
}void insert( int num, int l, int r, node New ) {if( cover( t[num], New, l ) && cover( t[num], New, r ) ) {t[num] = New;return;}if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;if( cover( t[num], New, mid ) )swap( t[num], New );if( cover( t[num], New, l ) ) insert( num << 1, l, mid, New );if( cover( t[num], New, r ) )insert( num << 1 | 1, mid + 1, r, New );
}double query( int num, int l, int r, int x ) {double ans = -1e9;int mid = ( l + r ) >> 1;if( x < mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );if( mid < x ) ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x - 1 ) );
} 
/*
已测试，此写法依然可过
double query( int num, int l, int r, int x ) {double ans;if( l == r ) return calc( t[num], x - 1 );int mid = ( l + r ) >> 1;if( x <= mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );else ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x - 1 ) );
} 
*/
int main() {scanf( "%d", &n );while( n -- ) {char opt[10]; int k, b, t;scanf( "%s", opt );if( opt[0] == 'Q' ) {scanf( "%d", &t );printf( "%d\n", int( query( 1, 1, maxn, t ) / 100 ) );}else {double k, b;scanf( "%lf %lf", &b, &k );insert( 1, 1, maxn, node( k, b ) );}}	return 0;
} 

线段游戏

分析

这道题就很特别了，我们维护的不再是一条直线，而是一条线段
这条线段只能覆盖有限的查询点，而不能覆盖的点我们是不能进行求解的

code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define maxn 100000
#define inf 0x7f7f7f7f
struct node {double k, b;node(){}node( double K, double B ) {k = K, b = B;}
}t[( maxn + 5 ) << 2];
int n, m;double calc( node num, int x ) {return num.k * x + num.b;
}bool cover( node old, node New, int x ) {return calc( old, x ) < calc( New, x );
}void insert( int num, int l, int r, node New ) {if( cover( t[num], New, l ) && cover( t[num], New, r ) ) {t[num] = New;return;}if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;if( cover( t[num], New, mid ) )swap( t[num], New );if( cover( t[num], New, l ) )insert( num << 1, l, mid, New );if( cover( t[num], New, r ) )insert( num << 1 | 1, mid + 1, r, New );
}void modify( int num, int l, int r, int L, int R, node New ) {if( L > R ) return;if( l == L && R == r ) {insert( num, l, r, New );return;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( R <= mid ) modify( num << 1, l, mid, L, R, New );else if( mid < L ) modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, New );else {modify( num << 1, l, mid, L, mid, New );modify( num << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, R, New );}
}double query( int num, int l, int r, int x ) {if( l == r ) return calc( t[num], x );double ans;int mid = ( l + r ) >> 1;if( x <= mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );else ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x ) );
/*
这种写法是不对的，原因上面已经分析过了......double ans = -inf;int mid = ( l + r ) >> 1;if( x < mid ) ans = query( num << 1, l, mid, x );if( mid < x ) ans = query( num << 1 | 1, mid + 1, r, x );return max( ans, calc( t[num], x ) );
*/
}void build( int num, int l, int r ) {t[num].k = 0, t[num].b = -inf;if( l == r ) return;int mid = ( l + r ) >> 1;build( num << 1, l, mid ), build( num << 1 | 1, mid + 1, r );
}int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );build( 1, 1, maxn );int x0, x1, y1, x2, y2, opt;double k, b;for( int i = 1, x1, y1, x2, y2;i <= n;i ++ ) {scanf( "%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2 );if( x1 == x2 ) k = 0, b = max( y2, y1 );else k = ( y2 - y1 ) * 1.0 / ( x2 - x1 ), b = y1 - k * x1;modify( 1, 1, maxn, max( 1, min( x1, x2 ) ), min( maxn, max( x1, x2 ) ), node( k, b ) );}while( m -- ) {scanf( "%d", &opt );if( opt ) {scanf( "%d", &x0 );double ans = query( 1, 1, maxn, x0 );printf( "%.6f\n", ( ans <= -inf ? 0 : ans ) );}else {scanf( "%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2 );if( x1 == x2 ) k = 0, b = max( y2, y1 );else k = ( y2 - y1 ) * 1.0 / ( x2 - x1 ), b = y1 - k * x1;modify( 1, 1, maxn, max( 1, min( x1, x2 ) ), min( maxn, max( x1, x2 ) ), node( k, b ) );}}return 0;
} 

拓展——(动态开点李超树维护凸包)

ZZH的旅行

solution

code

有一坨不像我🐎风的快读快输代码，是因为我$T$了，真的⛏不动了，加了就能$A$

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 1000005
vector < pair < int, int > > G[maxn];
int n;
int aa[maxn], bb[maxn], dep[maxn];
int X[maxn], K[maxn], B[maxn], rt[maxn], dp[maxn];
int son[maxn][2];namespace IO{const int sz=1<<22;char a[sz+5],b[sz+5],*p1=a,*p2=a,*t=b,p[105];inline char gc(){return p1==p2?(p2=(p1=a)+fread(a,1,sz,stdin),p1==p2?EOF:*p1++):*p1++;}template<class T> void read(T& x){x=0; char c=gc();for(;c<'0'||c>'9';c=gc());for(;c>='0'&&c<='9';c=gc())x=x*10+(c-'0');}inline void flush(){fwrite(b,1,t-b,stdout),t=b; }inline void pc(char x){*t++=x; if(t-b==sz) flush(); }template<class T> void print(T x,char c='\n'){if(x==0) pc('0'); int t=0;for(;x;x/=10) p[++t]=x%10+'0';for(;t;--t) pc(p[t]); pc(c);}struct F{~F(){flush();}}f; 
}
using IO::read;
using IO::print;int insert( int x, int l, int r, int k, int b, int id ) {if( ! x ) {son[id][0] = son[id][1] = 0;K[id] = k, B[id] = b;return id;}int mid = ( l + r ) >> 1;if( X[mid] * K[x] + B[x] < X[mid] * k + b )swap( K[x], k ), swap( B[x], b );if( l < r ) {if( k >= K[x] ) son[x][1] = insert( son[x][1], mid + 1, r, k, b, id );else son[x][0] = insert( son[x][0], l, mid, k, b, id );}return x;
}int query( int x, int l, int r, int id ) {if( ! x ) return -1e18;int ans = K[x] * X[id] + B[x];int mid = ( l + r ) >> 1;if( id <= mid ) ans = max( ans, query( son[x][0], l, mid, id ) );else ans = max( ans, query( son[x][1], mid + 1, r, id ) );return ans;
}int merge( int x, int y, int l, int r ) {if( ! x || ! y ) return x + y;int mid = ( l + r ) >> 1;son[x][0] = merge( son[x][0], son[y][0], l, mid );son[x][1] = merge( son[x][1], son[y][1], mid + 1, r );if( K[x] * X[mid] + B[x] < K[y] * X[mid] + B[y] )	swap( K[x], K[y] ), swap( B[x], B[y] );if( l < r ) insert( x, l, r, K[y], B[y], y );return x;
}void dfs1( int u, int fa ) {for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first, w = G[u][i].second;if( v == fa ) continue;else dep[v] = dep[u] + w, dfs1( v, u );}
}void dfs2( int u, int fa ) {for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first;if( v == fa ) continue;else dfs2( v, u ), rt[u] = merge( rt[u], rt[v], 1, n );}dp[u] = max( 0ll, query( rt[u], 1, n, lower_bound( X + 1, X + n + 1, aa[u] + dep[u] ) - X ) );rt[u] = insert( rt[u], 1, n, bb[u], dp[u] - bb[u] * dep[u], u );
}signed main() {read( n );for( int i = 1;i <= n;i ++ )read( aa[i] ), read( bb[i] );for( int i = 1, u, v, d;i < n;i ++ ) {read( u ), read( v ), read( d );G[u].push_back( make_pair( v, d ) );G[v].push_back( make_pair( u, d ) );}dfs1( 1, 0 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )X[i] = aa[i] + dep[i];sort( X + 1, X + n + 1 );dfs2( 1, 0 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )print( dp[i] );return 0;
}