正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P8292

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题目大意

有$n$张卡牌，第$i$张上的数字是$s_i$。$m$次询问给出$c_i$个质数，要求选择一些卡使得这些卡的乘积是这些质数的倍数，求方案数。

$1\le n\le 10^6,1\le s_i\le 2000,1\le m\le 1500,{\sum }_{i=1}^m{c}_i\le 18000$

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解题思路

对于一个数字$x$来说，大于$\sqrt{x}$的质因子只会有一个，也就是对于大于所有的${\sqrt{s}}_i$的质数$p$，它们的倍数之间不会产生重复，可以分开计数。

而小于${\sqrt{s}}_i$的质数个数只有$14$个，我们可以考虑状压。

处理出$g_s$表示在集合$s$中的质数都不选择（即没有这些数的倍数）时的数字个数，然后再预处理出一个$f_{i,s}$表示质数$i$的倍数中集合$s$中的质数都不选择时的数字个数。

那么对于一个询问，我们先处理出小于等于$\sqrt{s}$的质数被加进去的状态$S$，然后对于大于$\sqrt{s}$的每个质数$p$，那么答案就是

$$\sum _{T\subseteq S}\left(2^{g_T}\times \sum _p\left(1-\frac{1}{2^{f_{p,T}}}\right)\right)(-1{)}^{|T|}$$

然后求和就可以了

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cctype>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,M=1e6+10,L=14,P=998244353;
ll n,m,cnt,pri[320],pw[M],iw[M],ct[1<<L];
ll w[N],f[1<<L][320],g[1<<L],q[N*10],v[N];
vector<ll> r;bool usd[N];
ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}return x*f;
}
void Prime(){for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[cnt]=i,cnt++,v[i]=cnt-1;for(ll j=0;j<cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;}}return;
}
signed main()
{Prime();n=read();pw[0]=iw[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*2ll%P;for(ll i=1;i<=n;i++)iw[i]=iw[i-1]*(P+1)/2ll%P;for(ll i=1,x;i<=n;i++)x=read(),w[x]++;ll MS=(1<<L);for(ll s=1;s<MS;s++)ct[s]=ct[s-(s&-s)]+1;for(ll s=0;s<MS;s++){r.clear();memset(usd,0,sizeof(usd));for(ll i=0;i<L;i++)if((s>>i)&1){for(ll j=pri[i];j<=2000;j+=pri[i])usd[j]=1;}for(ll i=1;i<=2000;i++)if(!usd[i])g[s]+=w[i],r.push_back(i);g[s]=pw[g[s]];for(ll i=L;i<cnt;i++){f[s][i]=0;for(ll j=0;r[j]*pri[i]<=2000;j++)f[s][i]+=w[r[j]*pri[i]];ll k=f[s][i];f[s][i]=iw[k]*(pw[k]-1)%P;}}m=read();while(m--){ll k=read();ll t=0,tot=0,ans=0;for(ll i=1,x;i<=k;i++){x=read();if(v[x]<L)t|=1<<v[x];else q[++tot]=v[x];}sort(q+1,q+1+tot);tot=unique(q+1,q+1+tot)-q-1;for(ll s=t;s>=0;s=(s-1)&t){ll k=(ct[s]&1)?(P-g[s]):g[s];for(ll i=1;i<=tot;i++)k=k*f[s][q[i]]%P;(ans+=k)%=P;if(!s)break;}printf("%lld\n",(ans+P)%P);}return 0;
}