正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2293

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题目大意

给出一棵树，求它一棵点分树的最小深度。

$1\le n\le 10^5$

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解题思路

点分树的做法是直接找重心，但是两个重心我们很难确定找哪个，所以这个方法行不通。

但是这样我们大概能确定答案的上界是$\log n$级别的。考虑我们记每个点的点分子树深度$d_i$，那么$d_i$肯定满足对于一对深度相同的$(x,y)$，它们的路径上肯定存在一个点$z$满足$d_z>d_x,d_z>d_y$。

那么同样的，如果我们得到一个满足这个条件的数组$d$，我们也能构造出一棵合法的点分树，所以我们的目的就是要最小化$d$的值。

考虑一个构造方法，对于一个节点$x$的深度$p$，首先如果它的儿子中有深度为$p$的点那么显然不合法，如果存在一个在它不同子树中的节点$y$的深度$\ge p$，并且$x\leftrightarrow y$路径上节点深度都不超过$p$，那么显然也不合法。

显然上面这两个条件我们可以用状压搞定。

但是这样构造为什么是合法的呢？我也不知道，只能感性证明一下。能发现我们的操作中如果一个节点$x$选择了深度$p$，那么它往上的限制中所有深度$<p$的限制都会被打开，也就是说实际上选择更大的深度并不会放松后面的限制，所以选最小的更优。

时间复杂度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,ls[N],f[N],ans;
void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){int p=0,s=0;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);for(int j=30;j>=0;j--)if(s&f[y]&(1<<j)){p=max(p,j+1);break;}s|=f[y];}while((s>>p)&1)p++;ans=max(ans,p);f[x]=s|((1<<p+1)-1);f[x]=f[x]^((1<<p)-1);return;
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1,x,y;i<n;i++){scanf("%d%d",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,0);printf("%d\n",ans);return 0;
}